Description

comment trouver deux nombres connaissant leur pgcd ?

**Comment trouver deux nombres connaissant leur PGCD ?**

Dans ce billet, nous allons aborder la problématique de trouver deux nombres entiers naturels qui ont pour PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) un certain nombre, et qui aient comme PPCM (Plus Petit Commun Multiple) un autre nombre. Nous allons également présenter quelques méthodes pour résoudre ce problème.

Tout d’abord, nous pouvons remarquer que si nous avons les nombres a et b, il est possible de les décomposer en facteurs premiers. Cela nous permet de trouver le PGCD de ces deux nombres. En effet, selon le théorème du PGCD, le PGCD de deux nombres a et b est égal au PGCD des facteurs premiers de a et b.

Une autre méthode consiste à utiliser l’algorithme de Euclide, qui permet de trouver le PGCD de deux nombres en utilisant des divisions successives. Cet algorithme est notamment utile lorsque les nombres sont grands et que nous devons trouver le PGCD en utilisant une calculatrice.

Il est également possible de utiliser les listes des diviseurs de chacun des deux nombres pour trouver le PGCD. En effet, le PGCD est le plus grand diviseur commun des deux nombres. Nous pouvons ainsi trouver les diviseurs de chaque nombre et sélectionner le plus grand diviseur commun.

Mais qu’est-ce qu’un facteur premier ? C’est un diviseur qui est un nombre premier. Par exemple, les facteurs premiers de 4 sont 2 et 1, car 2 est le seul diviseur de 4 qui est impair.

Enfin, il est également possible de trouver les nombres entiers naturels non nuls a et b qui ont pour PGCD un certain nombre, en utilisant les équations suivantes :

a = (PGCD) x m
b = (PGCD) x n
m et n sont premiers entre eux

En résolvant ces équations, nous pouvons trouver les valeurs de a et b qui ont pour PGCD le nombre souhaité.

En résumé, il existe plusieurs méthodes pour trouver deux nombres connaissant leur PGCD. Nous pouvons utiliser l’algorithme de Euclide, les listes des diviseurs, ou les équations de résolution. Il est important de choisir la méthode qui convient le mieux à notre cas et à nos compétences.

**Exemple : Trouver les 2 nombres qui ont pour PGCD 8, et 144 comme PPCM.**

Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser la méthode des soustractions. Nous pouvons remarquer que 144 / 8 = 18 (reste des facteurs premiers non communs). Nous pouvons alors écrire :

18 = 2 x 9

Nous pouvons voir que les facteurs 2 et 9 ne sont pas premiers entre eux, car 3 et 6 ne sont pas premiers entre eux. Nous pouvons donc se demander si il existe d’autres facteurs premiers qui ne sont pas commun à a et b.

Nous pouvons ainsi continuer à soustraire 8 jusqu’à ce que nous obtenions un nombre qui ne soit plus divisible par 8. Nous pouvons alors remarquer que 9 est premier entre 2 et 18, ce qui signifie que les facteurs communs à a et b sont 2 et 8.

Nous pouvons alors écrire les équations suivantes :

a = 2 x m
b = 8 x n
m et n sont premiers entre eux

En résolvant ces équations, nous pouvons trouver les valeurs de a et b qui ont pour PGCD 8 et qui sont premiers entre eux.

En résumé, trouver deux nombres connaissant leur PGCD est un problème intéressant qui nécessite une compréhension solide des notions de mathématiques. Il existe plusieurs méthodes pour résoudre ce problème, et il est important de choisir la méthode qui convient le mieux à notre cas et à nos compétences.