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qu’est ce que deux vecteurs colinéaires ?

**Titre de l’article : Qu’est-ce que des vecteurs colinéaires ? Une explication simple et engageante !**

*Rédigé par [Votre nom], le [date]*

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### **Introduction : À quoi servent les vecteurs ?**
Vous avez déjà entendu parler des vecteurs en géométrie, mais savez-vous ce que signifie qu’ils soient *colinéaires* ? Alors, prenez votre crayon et découvrons ensemble ce concept clé qui simplifie les problèmes d’alignement de points ou de parallélisme entre droites ! Pas besoin de casquettes de mathématicien pour comprendre, on vous explique en 5 minutes chrono.

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### **1. Définition : Qu’est-ce que deux vecteurs colinéaires ?**
Deux vecteurs sont **colinéaires** s’ils **pointent dans la même direction** (même ligne droite, mais pas forcément le même sens !). Mathématiquement, ça veut dire qu’un vecteur est **un multiple** de l’autre.

**Formule clé :**
Si $overrightarrow{u}$ et $overrightarrow{v}$ sont colinéaires, il existe un réel $k$ tel que
**$overrightarrow{u} = k cdot overrightarrow{v}$**.

⚠️ **Attention** :
– Le **vecteur nul** ($overrightarrow{0}$) est colinéaire à *tous les vecteurs* (même avec lui-même, il est tout seul!).
– Les vecteurs non nuls doivent impérativement être « multiples » l’un de l’autre ( $k neq 0$ ).

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### **2. Propriétés et analogies concretes**
**Illustration visuelle :**
Imaginez une flèche bleue et une autre flèche rouge. Si les flèches se trouvent sur *la même ligne*, même s’il faut les allonger ou les inverser, elles sont colinéaires !
– Un vecteur peut être une **copie agrandie/reduite en sens inverse** ($k$ négatif), ça compte aussi !

**Exemple concret :**
– $overrightarrow{u} = (2, 4)$ et $overrightarrow{v} = (3, 6)$ sont-ils colinéaires ?
Oui ! Car $overrightarrow{v} = 1.5 times overrightarrow{u}$ (car $2 × 1.5 = 3$, $4 ×1.5 =6).

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### **3. Comment vérifier si deux vecteurs sont colinéaires ?**
**Méthode 1 : Proportionnalité des composantes**
Pour des vecteurs $overrightarrow{u}(x_u, y_u)$ et $overrightarrow{v}(x_v, y_v)$, vérifiez si leurs composantes sont **proportionnelles** :
**$frac{x_u}{x_v} = frac{y_u}{y_v}$** (en omettant les vecteurs nuls bien sûr).

**Exemple à résoudre :**
*Sont-ils colinéaires ?*
Avec $overrightarrow{AB}(4, 6)$ et $overrightarrow{CD}(2, 3)$.
Réponse : OUI ! Car 4/2 = 2, 6/3 =2 → même rapport → colinéaires.

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### **Méthode 2 : Le déterminant magique (pour les nuls non nuls)**
En 2D, calculez le **déterminant** :
$$ begin{vmatrix} x_u & x_v \ y_u & y_v end{vmatrix} = x_u times y_v – x_v times y_u. $$
Si le résultat est **0**, vous avez des vecteurs colinéaires.

**Exercice :**
$overrightarrow{u}(5, -10)$ et $overrightarrow{v}(1, -2)$.
Déterminant = $(5)(-2) – (-10)(1) = -10 +10 =0 → Colinéaires !

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### **4. Astuce avancée : Les nombres complexes**
Si vous travaillez avec les nombres complexes (niveau supérieur), si deux vecteurs dirigent les nombres complexes $z_1 = a + ib$ et $z_2 = c + id$ sont colinéaires, alors leur quotient $z_1 / z_2$ **est un réel**.
**Pourquoi ?** Parce que leur « angle » entre eux est 0° ou 180°, donc même ligne. Exemple :
$z_1 = 1+2i$ et $z_2=2+4i$. Leur quotient est $frac{1+2i}{2+4i}= 0.5$, un réel. → Colinéaires !

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### **5. Applications pratiques : C’est bon pour quoi finalement ?**
– **Démontrer qu’un triplet de points est aligné** :
Si $A, B, C$ sont alignés, $overrightarrow{AB}$ est colinéaire à $overrightarrow{AC}$.
*Exemple:* Points $A(0,0)$, $B(1,2)$ et $C(2,4)$ sont-ils alignés ?
Vérifiez $overrightarrow{AB}(1,2)$ vs. $overrightarrow{AC}(2,4)$. Leur proportionnalité (rapport $2$ → $k=2$) → OUI, alignés.

– **Construire des structures en paralléle** : En architecture ou en art, pour des murs paralléles, leurs vecteurs directeurs doivent être colinéaires !

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### **6. Questions fréquentes (les pièges à éviter !)**
1. ** »Le vecteur nul change-t-il tout ? »**
OUI : Le vecteur nul est colinéaire à *tous* les autres. Mais attention, il ne dirige pas de ligne bien définie !

2. ** »Et si les composantes sont nulles ? »**
Par exemple, pour $overrightarrow{u}(0, 0)$, le vecteur nul, il est colinéaire à n’importe quel autre. Mais prenez toujours un vecteur non nul comme référence.

3. ** »En 3D, c’est pareil ? »**
OUI ! En 3D, deux vecteurs $(x_u,y_u,z_u)$ et $(x_v,y_v,z_v)$ sont colinéaires si leurs composantes sont *proportionnelles*: $frac{x_u}{x_v} = …= frac{z_u}{z_v}$ (bien sûr sans division par zéro !).

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### **7. En résumé : Pour ne pas s’embrouiller**
– ** »Colinéaire = parallèle »** : Les vecteurs ont la même **direction**, mais pas nécessairement le même sens.
– **Testez avec un rapport** : Si les composantes sont proportionnelles → **CO-LIN-EAIRES** 🎯
– Déterminant à zéro = preuve que deux vecteurs en 2D colinéaire (ou un vecteur nul).

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### **Conclusion : Pourquoi c’est utile ?**
Cette notion est LA clé pour :
– Démontrer alignement de points.
– Détecter des parallélismes (ex: pour calculer les tringles parallelogones).
– Comprendre que même les jeux vidéo utilent les vecteurs pour faire bouger les personnages !

**Prochaine fois**, on verra comment appliquer tout ça pour prouver qu’un quadrilatère est un trapèze ! 💡

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### **Sources & Lire plus :**
– [Démo en vidéo](https://example.com) (lien fictif)
– Page officielle mathématiques : [Lien 1](#), [Lien 2](#).

**À bientôt pour une aventure géométrique !**

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*Cet article est adapté pour des élèves en seconde ou en 1ère, avec des exemples concrets. Comprenez l’essence des vecteurs colinéaires, et vous maitriezsez un pilier de la géométrie !*

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👉 **Dérivées**, **probabilités**, et plus encore !

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*Blog optimisé pour l’enseignement : clair, concret, et sans jargon compliqué. Bonne lecture et à très vite !*

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**Remercisement à Mathsbook, LesMathsTongs, et Educastream pour leurs cours inspirateurs !**

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**Encore confus ? Laissez un commentaire, et je vous réponds !** 😊

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*N’hésitez pas à tester vous-même avec ces exemples :*
– **Exercice** : Sont $ vec{AB}(2, 3)$ et $overrightarrow{CD}(4,6)$ colinéaires ?
*Réponse (spoiler): Oui, $vec{CD}=2 cdot vec{AB}$ !

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Cet article allie **théorie solide** et **pédagogie ludique**. À retenir :
> *** »Des vecteurs colinéaires = les fléchas font la même direction, même si un marche à reculons (k négatif).)** »*

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*Bonne note à votre prochain devoir de géométrie !*

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**#Mathsmagiques #VecteursColinéaires #Géométrie**