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pourquoi la preuve par 9 ne fonctionne pas toujours ?

### Pourquoi la Preuve par Neuf Ne Fonctionne Pas Toujours ?

La preuve par neuf est une méthode mathématique largement utilisée pour vérifier l’exactitude des calculs, notamment dans les opérations d’addition et de multiplication. Bien qu’elle soit simple et efficace, elle n’est pas infaillible. Dans cet article, nous allons explorer les raisons pour lesquelles cette méthode, bien qu’utile, ne garantit pas toujours une détection d’erreur.

#### Qu’est-ce que la Preuve par Neuf ?

La preuve par neuf repose sur le principe de l’arithmétique modulo 9. L’idée est que la somme des chiffres d’un nombre est congrue à ce nombre modulo 9. Par exemple, le nombre 18 a une somme de chiffres égale à 9 (1 + 8), ce qui signifie que 18 est divisible par 9. Cette propriété permet de vérifier rapidement si un résultat de calcul est probablement correct.

#### Comment Fonctionne la Preuve par Neuf ?

Pour appliquer la preuve par neuf, il suffit d’additionner les chiffres d’un nombre jusqu’à obtenir un seul chiffre. Si ce chiffre est égal à 9, le nombre est divisible par 9. Par exemple :
– **18 :** 1 + 8 = 9 → Divisible par 9.
– **27 :** 2 + 7 = 9 → Divisible par 9.

Cette méthode est également applicable aux opérations arithmétiques. Par exemple, pour vérifier si 12 + 15 = 27 :
– **12 :** 1 + 2 = 3.
– **15 :** 1 + 5 = 6.
– **Somme attendue :** 3 + 6 = 9, qui correspond à 27.

#### Pourquoi la Preuve par Neuf Peut-Elle Échouer ?

Malgré sa simplicité, la preuve par neuf a des limites. Voici quelques raisons pour lesquelles elle ne fonctionne pas toujours :

1. **Les « Faux Positifs »**
La preuve par neuf ne détecte pas toutes les erreurs. Par exemple, si vous avez 1992 au lieu de 1092, la somme des chiffres sera la même :
– **1992 :** 1 + 9 + 9 + 2 = 21 → 2 + 1 = 3.
– **1092 :** 1 + 0 + 9 + 2 = 12 → 1 + 2 = 3.

Dans ce cas, l’erreur n’est pas détectée, car les sommes des chiffres sont identiques.

2. **L’Absence de Preuve de Suffisance**
La preuve par neuf est une condition nécessaire mais pas suffisante. Cela signifie qu’elle peut confirmer qu’un résultat est probablement correct, mais ne garantit pas qu’il est exact. D’autres méthodes de vérification sont nécessaires pour s’assurer de l’exactitude.

3. **Les Erreurs de Transcription**
Si une erreur se produit lors de la transcription d’un nombre (par exemple, en échangeant deux chiffres), la preuve par neuf peut ne pas détecter l’erreur si la somme des chiffres reste inchangée.

#### Exemples Pratiques

Pour illustrer ces limites, considérons l’exemple suivant :
– **Calcul attendu :** 19 × 56 = 1064.
– **19 :** 1 + 9 = 10 → 1 (en ignorant le zéro).
– **56 :** 5 + 6 = 11 → 1 + 1 = 2.
– **Somme attendue :** 1 × 2 = 2.
– **Résultat :** 1064 → 1 + 0 + 6 + 4 = 11 → 1 + 1 = 2.

Si, par erreur, on calcule 19 × 56 = 1064, la preuve par neuf fonctionne correctement. Cependant, si le résultat était incorrect, par exemple 1064 au lieu de 1064, la preuve par neuf ne détecterait pas l’erreur.

#### Comment Améliorer la Vérification ?

Pour éviter les pièges de la preuve par neuf, il est recommandé de :
1. **Utiliser d’autres méthodes de vérification**, comme la preuve par 11 ou des calculs croisés.
2. **Effectuer des vérifications manuelles** pour les calculs importants.
3. **Utiliser des outils informatiques** pour confirmer les résultats critiques.

#### Conclusion

La preuve par neuf est un outil pratique et rapide pour vérifier les calculs, mais elle ne constitue pas une garantie absolue. Comprendre ses limites est essentiel pour éviter les erreurs. En combinant cette méthode avec d’autres techniques de vérification, vous pouvez vous assurer que vos calculs sont précis et fiables. La preuve par neuf reste donc un allié utile, mais il est crucial de ne pas s’en reposer exclusivement.