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comment trouver un système d’équation ?

**Comment trouver un système d’équations ?**

Les systèmes d’équations sont une partie essentielle des mathématiques, et ils jouent un rôle crucial dans la résolution de problèmes complexes. Si vous avez déjà rencontré un système d’équations, vous savez probablement à quel point il peut être déroutant au début. Cependant, avec les bonnes méthodes et un peu d’entraînement, vous pouvez maîtriser cette compétence.

Dans cet article, nous allons explorer les différentes façons de résoudre un système d’équations, en nous concentrant sur les méthodes les plus courantes : la substitution et l’élimination. Nous allons également discuter de la résolution graphique et de la manière dont les systèmes d’équations peuvent être utilisés dans la vie quotidienne.

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### **1. Qu’est-ce qu’un système d’équations ?**

Un système d’équations est un ensemble d’équations qui partagent les mêmes variables. Le but est de trouver les valeurs de ces variables qui satisfont **toutes** les équations simultanément. Par exemple, considérons le système suivant :

[
begin{cases}
x + y = 5 \
2x – y = 1
end{cases}
]

Ici, (x) et (y) sont les variables, et nous devons trouver les valeurs de (x) et (y) qui vérifient les deux équations.

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### **2. Les méthodes de résolution**

Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un système d’équations. Les deux principales sont la substitution et l’élimination. Nous allons examiner chacune d’elles en détail.

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#### **2.1. Méthode de substitution**

La substitution est une méthode simple et efficace pour résoudre un système d’équations. Voici les étapes à suivre :

1. **Isoler une variable dans une équation** : Choisissez une équation et une variable pour isoler. Par exemple, dans le système ci-dessus, isolons (y) dans la première équation :
[
x + y = 5 implies y = 5 – x
]

2. **Substituer dans l’autre équation** : Prenez l’expression que vous avez trouvée et remplacez la variable dans l’autre équation. Dans notre exemple :
[
2x – y = 1 implies 2x – (5 – x) = 1
]
Simplifiez :
[
2x – 5 + x = 1 implies 3x – 5 = 1 implies 3x = 6 implies x = 2
]

3. **Trouver la valeur de la deuxième variable** : Remplacez (x = 2) dans l’expression trouvée pour (y) :
[
y = 5 – 2 = 3
]

4. **Vérifier la solution** : Remplacez (x = 2) et (y = 3) dans les deux équations pour vous assurer qu’elles sont satisfaites :
[
2 + 3 = 5 quad text{(vrai)} \
2(2) – 3 = 1 quad text{(vrai)}
]

La solution est donc ((x, y) = (2, 3)).

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#### **2.2. Méthode d’élimination**

La méthode d’élimination est une autre technique courante pour résoudre les systèmes d’équations. Elle consiste à éliminer une variable en ajoutant ou en soustrayant les équations. Voici comment cela fonctionne :

1. **Identifier une variable à éliminer** : Dans notre système, nous pouvons choisir d’éliminer (y). Pour ce faire, nous pouvons additionner les deux équations pour que (y) disparaisse :
[
begin{cases}
x + y = 5 \
2x – y = 1
end{cases}
]
En additionnant les deux équations :
[
(x + y) + (2x – y) = 5 + 1 implies 3x = 6 implies x = 2
]

2. **Trouver la valeur de la deuxième variable** : Remplacez (x = 2) dans l’une des équations originales pour trouver (y) :
[
2 + y = 5 implies y = 3
]

3. **Vérifier la solution** : Comme dans la méthode de substitution, vérifiez que (x = 2) et (y = 3) satisfont les deux équations.

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#### **2.3. Résolution graphique**

La résolution graphique est une méthode visuelle qui consiste à représenter chaque équation d’un système comme une ligne dans un plan cartésien. La solution du système correspond alors au point d’intersection des deux lignes.

Par exemple, pour le système :
[
begin{cases}
y = -x + 5 \
y = 2x – 1
end{cases}
]

1. **Représenter les équations** :
– La première équation est une ligne avec une pente de (-1) et une ordonnée à l’origine de (5).
– La deuxième équation est une ligne avec une pente de (2) et une ordonnée à l’origine de (-1).

2. **Trouver le point d’intersection** : En traçant ces deux lignes, vous verrez qu’elles se croisent au point ((2, 3)), ce qui correspond à la solution du système.

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### **3. Pourquoi est-ce important ?**

Les systèmes d’équations ne sont pas uniquement une partie des mathématiques ; ils sont utilisés dans de nombreux domaines, y compris la physique, l’économie, l’informatique et bien d’autres. Par exemple, un ingénieur peut utiliser des systèmes d’équations pour calculer les forces dans une structure, tandis qu’un économiste peut les utiliser pour analyser les relations entre不同的 variables économiques.

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### **4. Exemple concret : Jeremy et ses achats**

Imaginons que Jeremy achète un croissant et trois pains au chocolat pour un total de 3,05 euros. Si nous appelons le prix d’un croissant (x) et le prix d’un pain au chocolat (y), nous pouvons écrire le système suivant :
[
begin{cases}
x + 3y = 3,05 \
text{(une autre équation)}
end{cases}
]

Pour résoudre ce système, nous pouvons utiliser la méthode de substitution ou d’élimination. Par exemple, si nous isolons (x) dans la première équation :
[
x = 3,05 – 3y
]
nous pouvons substituer cette expression dans la deuxième équation pour trouver (y), puis revenir pour trouver (x).

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### **5. Ressources pour approfondir**

Si vous souhaitez approfondir vos connaissances sur les systèmes d’équations, voici quelques ressources utiles :

– **Superprof** : [Cliquez ici](https://www.superprof.fr/ressources/scolaire/maths/cours-7/3eme-7/prix-petit-pain.html) pour découvrir des exemples concrets et des exercices pratiques.
– **WikiHow** : [Cliquez ici](https://fr.wikihow.com/résoudre-un-système-d’équations) pour une explication étape par étape des méthodes de résolution.
– **Alloprof** : [Cliquez ici](https://www.col-verne-illzach.ac-strasbourg.fr/sitepedagogique/documents/math/math2B/Chapitre_9_Equation_droite_systeme_equations.pdf) pour une approche plus théorique et des exercices supplémentaires.

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### **6. Conclusion**

Les systèmes d’équations peuvent sembler intimidants au début, mais avec la pratique, ils deviennent un outil puissant pour résoudre des problèmes complexes. Que ce soit pour acheter des croissants ou pour analyser des données scientifiques, la maîtrise des systèmes d’équations est une compétence essentielle.

N’oubliez pas que la meilleure manière d’apprendre est de pratiquer régulièrement. Essayez de résoudre des systèmes d’équations avec différentes méthodes et comparez les résultats. Vous serez bientôt en mesure de résoudre des systèmes plus complexes et de comprendre leur importance dans le monde réel.

Allez, à vos crayons et à vos calculatrices !