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que sont les nombres reels ?

Comprendre les nombres réels : de l’union des rationnels et irrationnels à l’idéalisation de grandeurs

Les nombres réels, représentés par R, sont tous les nombres qui appartiennent à l’ensemble des nombres rationnels (Q) ou à l’ensemble des nombres irrationnels (Q’). Autrement dit, R est égal à l’union de Q et Q’ (R = Q ∪ Q’).

Tous les nombres que nous utilisons dans notre vie quotidienne, comme 3, -5.6, √2 ou π, font partie des nombres réels. Cette ensemble offre une cohérence et une richesse qui facilitent les opérations arithmétiques et la représentation des grandeurs, qu’elles soient continues (comme le temps, la distance, la température…) ou discrètes.

Distinguer les nombres décimaux, rationnels et algébriques

Parmi les nombres réels, il existe des sous-catégories importantes. Par exemple, les nombres décimaux, qui sont les réels que l’on peut écrire exactement en base 10. Ils incluent les nombres entiers (…) et les fractions décimales.

Il y a également les nombres rationnels, exprimables sous forme de fractions à numérateurs et dénominateurs entiers. Ces nombres (…) sont une extension logique des nombres décimaux, permettant de représenter des rapports entre des grandeurs mesurables.

Un autre sous-ensemble important est celui des nombres algébriques, qui comprennent tous les nombres que l’on peut écrire en utilisant les quatre opérations élémentaires et les racines. Cela inclut les nombres rationnels, mais aussi des nombres comme √2 ou 3 + i.

Les nombres calculables et les nombres réels non calculables

Au-delà des nombres algébriques, on trouve des nombres calculables, qui sont ceux qu’on peut déterminer à l’aide d’algorithmes précis. Ceux-ci incluent les nombres algébriques, mais également certains transcendants comme π ou e.

Cependant, la totalité des nombres réels est beaucoup plus vaste et comporte des nombres non calculables. Ces derniers ne peuvent être obtenus par aucun algorithme, ce qui en fait des entités mathématiques assez mystérieuses.

Idéaliser les grandeurs avec les nombres réels

En mathématiques, les nombres réels permettent d’idéaliser toutes les grandeurs mesurables. Un nombre réel représente une quantité sur une ligne numérique continue, de l’infini négatif à zéro jusqu’à l’infini positif. Cette construction, loin d’être arbitraire, est le résultat d’une évolution à partir des nombres naturels, utilisés pour le comptage.

En définitive, les nombres réels offrent une représentation unifiée et complète des grandeurs continues et discrètes, facilitant ainsi la modélisation des phénomènes du monde réel dans le domaine des mathématiques.

Sources: Alloprof, Techno-Science, Mathesis.teachable.com, Maths et Tiques, Le prof de math