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… est ce que ln en maths ?

# Qu’est-ce que ln en maths ?

Tout au long de nos études en mathématiques, le logarithme naturel, connu sous la notation « ln », décroche souvent nos regards. Cette notation (ln) peut sembler mystérieuse mais est en réalité définie de manière précise et joue un rôle crucial dans le monde des mathématiques. Dans cet article, nous explorerons en profondeur ce qu’est réellement « ln » en mathématiques et ses principales propriétés.

## Définition et histoire du logarithme naturel

Le logarithme népérien, noté par « ln », est également appelé logarithme naturel. La notation « ln » vient du Latin « logarithmus naturalis ». L’histoire du logarithme naturel remonte au 17ème siècle avec l’ouvrage de John Napier, « Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio », publié en 1614. Cependant, la notation « ln » a été introduite par Leonhard Euler au 18ème siècle.

En mathématiques, le logarithme naturel ou népérien est le logarithme de base *e*. C’est la réciproque de la fonction exponentielle de base *e* (où *e* est la constante de base des logarithmes naturels, approximativement égale à 2,71828).

Voici une définition plus formelle : si ( x = e^y ), alors ( y = ln(x) ). On peut aussi dire que « ln est définie et dérivable sur l’intervalle ]0; +∞[, et la dérivée de ln est la fonction inverse. »

Le logarithme naturel joue un rôle central en mathématiques car il est utilisé dans de nombreuses applications, notamment dans les calculs de taux d’accroissement, les équations exponentielles, et plus globalement dans le calcul infinitésimal.

## Propriétés du logarithme naturel (ln)

La fonction logarithme naturel possède de nombreuses propriétés intéressantes dont voici quelques-unes :

– **ln(1) = 0** : ce principe découle directement de l’égalité (e^0 = 1).
– **ln(xy) = ln(x) + ln(y)** : Cette propriété découle de la définition de la fonction logarithme exponentielle.
– **ln(x^a) = a*ln(x)** : cette propriété est un corollaire de l’ancienne.

## L’influence du logarithme naturel sur les fonctions

### Influence sur la fonction x

Dans les situations où **x** est très grand, **ln(x)** est négligeable devant **x**. En d’autres termes, **ln(x)** « domine » moins que x lorsque x tend vers l’infini, ce qui signifie qu’on peut souvent faire comme si la fonction log naturelle n’existait pas ou était insignifiante par rapport à x.

### Influence sur la fonction exponentielle

De manière similaire, x est négligeable devant **e^x** lorsque x tend vers l’infini. Ceci signifie que lorsque x est très grand, **e^x** grandit beaucoup plus rapidement que x. Cette propriété est couramment utilisée en analyse dans la comparaison des fonctions et l’étude de leurs comportements asymptotiques.

### Influence sur les puissances de x

Il est important de noter que ces caractéristiques s’appliquent pour **toutes les puissances de x**. Ainsi, qu’une fonction contienne x, x^2, x^3, etc., tout comme ses puissances décroissantes, **elles sont toutes négligeables devant une fonction exponentielle pour de grandes valeurs de x**, alors que pour x tendant vers l’infini, **les logarithmes l’emportent sur ces petites puissances de x**.

## Exercices concrets

Pour bien comprendre, résolvons un petit exercice :

Trouver le domaine de définition de la fonction ( f(x) = ln(x – 3) ).

La fonction logarithme est définie pour tout x positif. Par conséquent, pour que la fonction ( f(x) = ln(x – 3) ) soit définie, il faut que l’argument du logarithme, soit ( x – 3 ), soit positif. Donc, ( x – 3 > 0 ) et, par conséquent, ( x > 3 ). Le domaine de définition de la fonction est ainsi : ( D_f = ]3; +infty[ ).

## Différence entre log et ln

La fonction ln est souvent utilisée en mathématiques et log en physique et chimie. En mathématiques, la notation ln est généralement utilisée quand on parle des logarithmes de base e, tandis que log peut se référer à des bases différentes, la plus commune étant log10 ou log2. En pratique, vous rencontrerez souvent le terme « log » sans base indiquée, dans ce cas, soyez attentif au contexte pour savoir s’il s’agit d’un logarithme de base 10 ou de base e. Avec des calculatrices ou des logiciels, la fonction ln est strictement liée à la base e tandis que la fonction log est souvent liée à la base 10, mais cela n’est pas une règle universelle et peut varier d’un contexte à l’autre.

## Conclusion

Dans ce petit tour d’horizon du logarithme naturel, nous avons vu qu’il représente une fonction inverse de l’exponentielle de base e qui est largement utilisée dans diverses branches de la mathématique et de la physique. Les propriétés de ln, comme sa négligeabilité devant les fonctions linéaires pour de grandes valeurs de x et sa croissance plus lente que celle de x pour de petites valeurs de x, sont fondamentales pour comprendre son rôle en analyse et en autre domaine. Il représente une autre pierre angulaire de notre compréhension des mathématiques, une fonction non seulement essentielle mais également fascinante par la grandeur de ses applications.

N’oubliez pas, tout comme à la maison ou au travail, où « ln » joue un rôle central et significatif, dans le monde des mathématiques, le logarithme naturel « ln » joue également un rôle critique et essentiel.

C’est en naviguant parmi ces différents éléments que l’on se rapproche d’une compréhension au-delà des chiffres et formules, et découvre ce que signifie vraiment « ln » dans le monde fascinant des mathématiques.