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comment trouver la longueur et la largeur d’un rectangle avec son périmètre et son aire ?

**Titre :** *Comment trouver la longueur et la largeur d’un rectangle avec son périmètre et son aire ?*

Besoin de savoir la longueur et la largeur d’un rectangle mais vous n’avez que son périmètre et son aire ? Ne paniquez pas ! Dans cet article, je vous guide pas à pas pour résoudre ce problème, en détail et en évitant les erreurs. Équipez-vous d’un stylo, d’un papier et de votre curiosité mathématique !

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### **Pourquoi ces données sont-elles essentielles ?**
Un rectangle est défini par ses longueur ((L)) et largeur ((l)). Bien que leur **périmètre** ((P)) et **aire** ((A)) dépendent de ces variables, ces deux caractéristiques ne permettent **pas** de retrouver les dimensions si on en oublie une des deux. En effet :
– Avec **seulement le périmètre**, vous ne savez pas comment les longueur et largeur s’additionnent entre elles (vous pouvez avoir (L = 1) et (l = 4) avec (P = 10), ou (L = 2) et (l = 3)).
– Avec **seulement l’aire**, la même ambiguïté existe ((10 = 1×10) ou (2×5)).

**Pour une solution unique**, il est **obligatoire d’avoir les deux données** : périmètre **et** aire. C’est là qu’apparaît **le système d’équations**, une arme mathématique redoutable.

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### **Les étapes clés (illustré par un exemple)**
Imaginons un rectangle avec :
– **Périmètre** = (24,m)
– **Aire** = (20,m²).
Suivez la marche à suivre :

#### 1. **Écrire les deux formules de base**
– Périmètre : (P = 2(L + l)) → Ici, (24 = 2(L + l) → (L + l = 12).
– Aire : (A = L times l) → Ici, (20 = L times l).

#### 2. **Expresion d’une variable**
Choisissez une variable à exprimer. Par exemple, (L = 12 – l (une fois isolée de la 1re équation).

#### 3. **Substitution et équation quadratique**
Remplacez (L) dans la seconde équation :
[
A = (12 – l) times l = 20
]
[
→ l^2 -12l + 20 = 0
]

#### 4. **Résolution de l’équation quadratique**
La forme générale (ax² + bx + c = 0) donne ici :
– (a = 1), (b = -12), (c = 20).
– **Discriminant** : (Δ = (-12)² – 4(1)(20) = 144 – 80 = 64).
– Solutions :
[
l = frac{12 pm sqrt{64}}{2} = frac{12 pm 8}{2}.
]
Donc, (l = 10) ou (l = 2).

#### 5. **Choisir les valeurs logiques**
Puisque (L > l) par définition d’un rectangle, on retient :
– Si (l = 2), alors (L = 12 – 2 = 10,m).
– L’autre solution ((l = 10) et (L = 2)) serait invalide, car la largeur est généralement plus petite que la longueur.

**Résultat final :** Longueur = (10,m), Largeur = (2,m).

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### **Erreurs à éviter**
1. **Ignorer la nécessité des deux données** : Sans périmètre **et** aire, vous restez bloqué !
2. **Oublier de vérifier le discriminant** : Si Δ l** pour ne pas brouiller les résultats.

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### **Exemple concret**
Un jardin a un périmètre de (30,m) et une aire de (56,m²). Trouvez (L) et (l).
1. (L + l = 15)
2. (L times l = 56).
3. Substituez : (l =15 – L) → (L(15 – L) = 56 → L² -15L +56 =0).
4. (Δ = 225 – 224 = 1). Solutions : (L = frac{15 pm1}{2}), soit (L = 8) ou (L =7).
**Conclusion** : Longueur = (8,m), largeur = (7,m) (car (L > l)).

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### **En résumé, les étapes sont :**
1. Écrire (L + l = frac{P}{2}).
2. Poser (A = L times l).
3. Former une équation quadratique.
4. Résoudre via (Δ), puis attribuer les valeurs rationnelles.

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### **Applications pratiques**
– Planifier un jardin avec un budget de clôture fixé.
– Calculer les dimensions d’une pièce pour une décoration optimale.

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### **Questions fréquentes**
**Q :** Si le discriminant est nul, que signifie cela ?
**R :** Les deux côtés sont égaux ((L = l) → Votre rectangle est un carré.

**Q :** Et si je n’ai que le périmètre et une **proportion** entre (L) et (l) ?
Par exemple : *« La longueur est le triple de la largeur, périmètre = 20cm » → (L =3l).
Alors : (2(3l + l) =20) et (A) serait calculé ensuite. Mais dans cet article, on suppose que vous avez (P) **et** (A).

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### **En conclusion**
Retenez bien cet algorithme : *« Périmètre + Aire = Système d’équations → Quadratique → Solutions »*.

Essayez avec l’exercice suivant (pour s’entraîner) :
– Périmètre = 20,m, Aire = 21,m² → Trouvez (L) et (l (Solution : (L=7m), (l=3m).

À bientôt pour d’autres astuces !

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*Source inspirante ?:*
– Exemples de calculs tirés de *Futura Sciences* et *mathématiquesappliquées.com*.

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N’hésitez pas à partager cet article à vos camarades en galère avec les rectangles déroutants !

*Bon calcul !*