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comment raisonner par l’absurde ?

# Comment Raisonnement par l’Absurde ? Découverte des Règles et Exemples Clés

*Image de Pixabay illustrant une idée disruptive*

## Introduction : L’Art de Jouer la Carte de la Contradiction
Imaginez une discussion entre deux amis : l’un affirme que les dragons existent et l’autre, pour le convaincre du contraire, imagine une situation où ces dragons auraient-ils des ailes immenses, comment respireraient-ils ? Ce mécanisme, qui consiste à prouver une thèse en supposant son contraire pour aboutir à une absurdité, est un pilier des mathématiques et de la logique depuis l’Antiquité.

C’est ce que l’on nomme le **raisonnement par l’absurde** (*reductio ad absurdum* en latin).)
Dans cet article, nous l’expliquerons de manière intuitive, étape par étape, avec des exemples concrets pour dissiper toute confusion !

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## Etape 1 : La Méthodologie en 4 Mouvements
Il fonctionne selon un schéma rigoureux :

1. **Hypothèse initiale** : On part du postulat contraire de ce que l’on souhaite démontrer.
2. **Déduction logique** : En partant de cette hypothèse, on enchaîne des implications mathématiques ou des arguments cohérents.
3. **Contradiction flagrante** : On montre que cette chaîne logique aboutit à une contradiction (logique, mathématique, ou contradictoire avec un axiome fondamental).)
4. **Conclusion forcée** : Comme l’hypothèse initiale engendre l’absurdité, on retient alors que la thèse originale est **vraie**.

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## 3 Exemples Élucideurs

### Exemple 1 : √2 N’est Pas Un Nombre Rationnel
**A prouver** : √2 n’est pas un nombre rationnel (soit un rapport de deux entiers).
– Étape 1 : *Supposons le contraire* : √2 = a/b, avec *a* et *b* entiers premiers entre eux.
– Étape 2 : Elevons au carré ⇒ 2 = a²/b² ⇒ a² = 2b². → *a² est pair ⇒ a aussi, notons a=2k.*
– Étape 3 : *Substitution* : (2k)² = 2b² ⇒ 4k² = 2b² ⇒ b² = 2k² ⇒ *b² est pair ⇒ b est pair*.
– Contradiction : a et b sont paires ⇒ ils ont 2 comme diviseur commun, ce qui contredit leur hypothétique « primalité ».
– Conclusion : L’hypothèse de départ est erronée. √2 est effectivement irrationnel.

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### Exemple 2 : Le Triangle qui n’Existerait Pas
**Problème** : Pouvons-nous construire un triangle avec des côtés de 4 cm, 6 cm et 11 cm ?
– Hypothèse : On *admet* que le triangle existe.
– Conséquence mathématique (inégalité triangulaire) : Chaque côté doit être ≤ somme des deux autres.
– Testons 11 cm : 4+6 = 10 √n, alors leur produit multiplierait des nombres >√n, ce qui donnerait un produit > √n * √n = n → Contradiction.
– Conclusion : Donc il existe un diviseur ≤√n.

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## Pourquoi Utiliser Cet Outils ?
Ce procédé est idéal dans les cas où :
✅ On manque d’une voie de démonstration directe
✅ L’hypothèse contraire génère des implications simplifiables

**Attention**: Éviter de recourir à l’absurde si une preuve directe existe (*exemple : dans le triangle, une simple calcul suffit, pas besoin d’absurde si déjà maîtrisé.)

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## Histoire et Applications Cultes
– **Euclide (vers 300 av JC)** : Démontra l’infini des nombres premiers en supposant qu’il en existe un dernier ⇒ un nombre plus grand que leur produit +1 engendre un nouveau premier.
– **En Philosophie** : Descartes utilise cette logique dans *Discours de la Méthode*.
– **En Droit** : Un avocat peut exploiter un témoignage contradictoire pour invalider un alibi.

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## Erreurs à Éviter
⚠️ **Méprise Classique** : Une contradiction logique, non mathématique (ex: « Supposons que laTerre est plate » conduit à des théories comiques en cosmologie.)
⚠️ **Saut logique** : Passer d’une erreur mineure à une conclusion hâtive.
→ Toujours vérifier que le résultat absurde découle INÉVITABLEMENT de l’hypothèse de départ.

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## En Résumé
Raisonner par l’absurde, c’est comme jeter une pierre dans un bassin : l’onde de la contradiction révèle clairement si l’hypothèse initiale est plausible.

Pour retenir le processus :
1. **Contredis** ce que tu cherches à prouver
2. **Suivis** les conséquences
3. **Explosez** la bulle en trouvant un non-sens
4. **Victoire** ! Ton affirmation d’origine est prouvée.

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## Entraînez Vous !
1. **Exercice 1** : Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers.
> *Indice* : Supposez qu’il y en a un nombre fini…

2. **Défi Visuel** : Un rectangle a des côtés entiers. Sa surface est 15cm². Peut-il avoir un périmètre ≤ 16 cm ?

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## Un outil puissant… Mais avec Discernement!
N’oubliez pas : C’est **une arme de last resort** lorsque les voies simples échouent. Restez créatifs dans vos hypothèses, mais exigez **rigueur logique**.

Alors, prêts à repousser les limites du plausible ? L’absurde vous ouvre des portes inattendues !

*Bon calcul* 🔍

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## Sources Inspiratrices
– Cours de mathématiques collégiales (Superprof, BibMath)
– Exemples concrets de ZesteDeSavoir
– Cas historique de Euclide (Wikipedia)

Bonne exploration dans ce monde paradoxal et prodigieux des démonstrations mathématiques ! 🚀