quand est-ce que deux nombres sont premiers entre eux ?

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2. Nombres premiers entre eux | Lelivrescolaire.fr
Nombres premiers entre eux A Définition Définition Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. On dit que a et b sont premiers entre eux lorsque leurs seuls diviseurs communs sont 1 et −1. Autrement dit, a et b sont premiers entre eux lorsque PGCD(a;b) = 1. Remarque Deux nombres premiers distincts sont premiers entre eux. Exemple
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Définition | Nombres premiers entre eux | Futura Sciences
Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux lorsqu’il n’admette aucun diviseur commun, sinon l’unité. Par exemple 5 et 12 sont premiers entre eux, mais pas 12 et 15 qui…

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Nombres Premiers entre Eux – Trouver – Vérifier en Ligne – dCode
Formellement, mathématiquement, deux nombres sont premiers entre eux si le PGCD (plus grand commun diviseur) de ces nombres est égal à 1. Cette définition peut être élargie à N nombres (par paires). Exemple : PGCD (4,6) = 2 donc 4 et 6 ne sont pas premiers entre eux.

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Nombres Premiers Entre Eux | Superprof
Définition. On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est 1. Exemple : Les nombres 44 et 21 sont-ils premiers entre eux ? 21 = 1 x 21 = 3 x 7 44 = 1 x 44 = 2 x 22 = 4 x 11. Les diviseurs de 21 : 1 ; 21 ; 3 ; 7 Les diviseurs de 44 : 1 ; 44 ; 2 ; 22 ; 4 ; 11. Le PGCD (21 ; 44) = 1. Les nombres 21 et 44 sont premiers entre eux.

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Comment savoir si deux nombres sont premiers entre eux?
Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux lorsqu’il n’admette aucun diviseur commun, sinon l’unité. Par exemple 5 et 12 sont premiers entre eux, mais pas 12 et 15 qui admettent 3 comme diviseur commun. Comment démontrer que deux nombres ne sont pas premiers entre eux? Comment savoir si deux nombres sont premiers entre eux?

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Nombres premiers entre eux – Calculateur en ligne – 123calculus.com
Deux entiers sont premiers entre eux (ou étrangers) si leur PGCD (ou plus grand commun diviseur) est égal à 1. Une définition équivalente : 2 nombres sont premiers entre eux s’ils n’ont aucun facteur (diviseur) premier commun. Exemple : 15 et 63 sont premiers entre eux car, 15 = 3 x 5, les facteurs premiers de 15 sont 3 et 5

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deux nombres premiers entre eux – Futura
Re : deux nombres premiers entre eux. Bonjour, oui mais là, le problème c’est que tu ne vérifies pas les conditions imposées par ton énoncé. Tu n’as pas pris N3 évidemment. Ce que t’ont dit Médiat et Arkangelsk est vrai, cela marche également pour n le plus grand, la seule condition importante est N<2^n et N impair …

https://agreg-maths.fr › developpements › 58

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Probabilité que deux nombres soient premiers entre eux – Agreg-maths.fr
Développement : Probabilité que deux nombres soient premiers entre eux Détails/Enoncé : Soit n ∈ N∗ n ∈ N ∗ un entier. On note rn r n la probabilité que deux entiers pris au hasard dans {1,…,n} { 1, …, n } soient premiers entre eux. Alors rn = 1 n2 n ∑ d=1μ(d)E(n/d)2 → 6/π2 r n = 1 n 2 ∑ d = 1 n μ ( d) E ( n / d) 2 → 6 / π 2

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Deux nombres pairs et impairs sont ils toujour premier entre eux – Ilemaths
La question est : Deux nombres pairs et impairs sont-ils toujours premiers entre eux ? Merci d’avance ! Posté par . Glapion re : Deux nombres pairs et impairs sont ils toujour premier entr 05-11-12 à 15:40. Bonjour, donne des contre exemples. deux nombres l’un étant pair et l’autre impair sont-ils toujours premiers entre eux ? non exemple 7 et 14. Posté par . fandematt re : Deux nombres …

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On dit que deux nombres sont premiers entre eux s’ils n’ont que 1 …
On dit que deux nombres sont premiers entre eux s’ils n’ont que 1 comme diviseur commur 1) Trouver tous les diviseurs de 45 et tous les diviseurs de … 28 Bonjour pouvez-vous m’aider je ne sais pas comment résoudre il faut faut factorisé l’expression V=36x³-24x² + 3x Bonjour j’ai dm de maths à rendre pour la rentré et je bloque voici la question: Voici deux programme de calcul …

Le segment ne passe par aucun point du réseau (hormis les points à ses extrémités), ce qui montre que 4 et 9 sont premiers entre eux.
En mathématiques, on dit que deux entiers a et b sont premiers entre eux, que a est premier avec b ou premier à1 b ou encore que a et b sont copremiers (ou encore étrangers) si leur plus grand commun diviseur est égal à 1 ; en d’autres termes, s’ils n’ont aucun diviseur autre que 1 et –1 en commun. De manière équivalente, ils sont premiers entre eux s’ils n’ont aucun facteur premier en commun.
Par exemple, 6 et 35 sont premiers entre eux, mais 6 et 27 ne le sont pas parce qu’ils sont tous les deux divisibles par 3. Le nombre 1 est premier avec tout entier, tandis que 0 est uniquement premier avec 1 et –1.
Cette notion a été introduite dans le livre VII des Éléments d’Euclide.
Des notations standard pour deux entiers a et b premiers entre eux sont : pgcd(a, b) = 1 ou a∧b = 1. Ronald Graham, Donald Knuth et Oren Patashnik ont aussi proposé2 la notation
.
Un moyen rapide pour déterminer si deux nombres entiers sont premiers entre eux est l’algorithme d’Euclide, ou ses versions plus rapides telles que l’algorithme du PGCD binaire ou l’algorithme du PGCD de Lehmer (en).
Le nombre d’entiers premiers avec un entier positif n et compris entre 1 et n est égal à φ(n), où φ est la fonction phi d’Euler.
Propriétés[|]
Propriétés de base[|]
Dans ce qui suit, a et b désignent deux entiers relatifs.
Si a est premier avec divers autres entiers alors il est premier avec leur produit, puisque tout diviseur non trivial de ce produit doit diviser l’un des entiers, et donc ne pas diviser a.
Si a est premier avec b, a + bc est premier avec b quel que soit l’entier c. En effet, pgcd(b, a + bc) = pgcd(b, a).
Si a est premier avec b, alors a + b est premier avec a et b : ce n’est guère que le résultat ci-dessus appliqué à c = 1, et appliqué à nouveau en inversant les rôles de a et b.
Un nombre p est premier si, et seulement si, il est premier avec tout nombre qu’il ne divise pas. En effet, si p est premier et a un facteur commun non trivial avec un nombre a, ce facteur ne peut être que p, et réciproquement, si p n’est pas premier, il est divisible par un facteur d non trivial et différent de p, donc p n’est pas premier avec d.
Si a est premier avec b, alors am est premier avec bn, quels que soient les entiers naturels m et n : cela provient du fait que tout facteur premier d’une puissance entière ks divise aussi k, en vertu de la décomposition de k en produit de facteurs premiers.
Si m et n sont des entiers strictement positifs, alors la réciproque a lieu : a est premier avec b lorsque am est premier avec bn, ce qu’on déduit du fait que tout facteur premier d’un entier k divise aussi ks, si s > 0.
En joignant la troisième propriété ci-dessus avec la cinquième, on en déduit que si a est premier avec b, alors am + bn est premier avec a et b quels que soient les entiers naturels m et n.
Toute fraction rationnelle q peut s’écrire sous forme dite « réduite » : q = a/b, où a est premier avec b.
Si
et
sont des fractions rationnelles réduites dont les dénominateurs sont premiers entre eux, alors la représentation de leur somme sous la forme
est d’ores et déjà réduite. En effet, bc est premier avec d et ad avec b en vertu des définitions et des hypothèses. Donc bc + ad est premier avec b et d par la deuxième propriété listée ci-dessus.
Théorème de Bachet-Bézout[|]
Article détaillé : Théorème de Bachet-Bézout.
Les entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe des entiers relatifs x et y tels que ax + by = 1.
Cette condition équivaut à : b a un inverse pour la multiplication modulo a, c’est-à-dire : il existe un nombre entier y tel que by ≡ 1 (mod a).
Lemme de Gauss[|]
Article détaillé : Lemme d’Euclide.
Si a et b sont premiers entre eux et a divise un produit bc, alors a divise c.
Ainsi, si a et b sont premiers entre eux et bx ≡ by (mod a), alors x ≡ y (mod a) puisque a divise b(x-y). En d’autres termes : b est simplifiable dans l’anneau ℤ/aℤ des entiers modulo a.
En considérant l’équation en nombres de la demi-droite ay = bx avec x > 0, on en déduit encore que y doit être multiple de b et x multiple de a. Autrement dit, deux entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si le point de coordonnées (a, b) dans un repère cartésien est « visible » de l’origine (0, 0), dans le sens où il n’y a pas de point de coordonnées entières entre l’origine et (a, b).
Si
où
est premier avec
et
est premier avec
, alors
et
, les signes étant identiques. En effet,
divise
et
divise
par le lemme de Gauss, et pour la même raison,
divise
et
divise
; donc
et
, et l’équation d’hypothèse implique que les signes sont identiques.
Si a et b sont positifs et premiers entre eux, et si ab est une puissance de n, alors a et b sont aussi des puissances de n. Notons en effet ab = cn. Alors c est égal à 1, auquel cas tout est trivial, ou est produit d’un nombre fini de puissances ps de facteurs premiers distincts p. Ainsi cn est le produit des pns. Mais pns ne saurait avoir de facteurs communs non triviaux avec a et b à la fois, sans quoi p diviserait ce facteur et serait un facteur commun à a et à b. Donc pns divise l’un ou l’autre des nombres a et b par le lemme de Gauss. Comme c’est vrai pour chacun des pns, a est produit d’une partie des pns, tandis que b est produit de l’autre partie, ce qui permet de conclure.
Théorème des restes chinois[|]
Article détaillé : Théorème des restes chinois.
Deux entiers a et b sont premiers entre eux, si et seulement si tout système de congruences de la forme x ≡ m1 (mod a) et x ≡ m2 (mod b) a une infinité de solutions en nombres, d’ailleurs décrites par une congruence unique de la forme x ≡ m (mod ab).
Cette équivalence se généralise au cas d’un ensemble de nombres premiers deux à deux.
Indicatrice d’Euler[|]
Article détaillé : Indicatrice d’Euler.
L’indicatrice d’Euler, qu’on note habituellement
, est la fonction qui, à tout entier n > 0, associe le nombre d’entiers premiers à n dans l’intervalle
.
Une expression explicite de l’indicatrice d’Euler s’obtient à partir de la décomposition en facteurs premiers de n :
Pour tout entier n > 2, φ(n) est pair et la somme de tous les entiers positifs inférieurs et premiers à n est égale à n
φ(n)
2
.
Extension à un ensemble quelconque d’entiers[|]
Les nombres d’un ensemble quelconque D (fini ou infini) d’entiers sont dits premiers entre eux dans leur ensemble si 1 est leur plus grand commun diviseur.
Ils sont premiers entre eux deux à deux si pour tous a et b distincts dans D, a et b sont premiers entre eux.
La présence dans D de deux nombres premiers entre eux est une condition suffisante, mais non nécessaire, pour que les entiers de D soient premiers entre eux dans leur ensemble. Par exemple, 6, 14 et 21 sont premiers entre eux dans leur ensemble, mais aucun couple extrait de ce triplet n’est formé de deux nombres premiers entre eux.
Pour que des nombres
soient premiers dans leur ensemble, il faut et il suffit qu’ils satisfassent à une relation de Bezout de la forme
pour des entiers relatifs
Des nombres
premiers deux à deux vérifient par exemple cette propriété: en notant
le produit de tous les
pour lesquels
, chacun des
(et donc le produit de tous les
) sont premiers avec le nombre
En effet, pour tout i donné, chaque
tel que
est multiple de
, tandis que
est premier avec
. Donc la somme S des
est multiple de
, et
, ou bien
, est premier avec
.
Généralisation dans les anneaux[|]
Des idéaux I et J d’un anneau commutatif A sont dits premiers entre eux si I + J = A (par exemple : deux idéaux maximaux distincts sont premiers entre eux). Cela généralise l’identité de Bézout : si I et J sont premiers entre eux, alors IJ = I∩J et le théorème des restes chinois généralisé s’applique ; de plus, si K est un troisième idéal tel que I contient JK, alors I contient K.
Avec cette définition, dans l’anneau ℤ des entiers relatifs, les idéaux principaux (a) et (b) sont premiers entre eux si et seulement si les entiers a et b sont premiers entre eux.
Voir aussi l’article Primalité dans un anneau, pour la définition générale d’éléments premiers entre eux dans un anneau (qui coïncide pour Z avec la condition précédente).
Probabilités[|]
Article détaillé : Théorème de Cesàro (théorie des nombres).
Quand n tend vers l’infini, la probabilité pour que deux nombres entiers inférieurs à n soient premiers entre eux tend vers 6/π2. Plus généralement, la probabilité que k entiers inférieurs à n choisis au hasard soient premiers entre eux tend vers 1/ζ(k).
Notes et références[|]
↑ Par ex. Jean-Pierre Serre, Œuvres, vol. 2 [] et vol. 4 [].
↑ (en) R. L. Graham, D. Knuth et O. Patashnik, Concrete Mathematics / A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, 1989 (ISBN 0-201-14236-8), p. 115.
Arithmétique et théorie des nombreslesoutrali bot