proportionnalité explication simple ?

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Proportionnalité : généralités – Maxicours
1. Proportionnalité entre deux grandeurs a. Grandeurs proportionnelles Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on peut calculer la valeur de l’une en multipliant la valeur de l’autre par un nombre, toujours le même, appelé coefficient de proportionnalité. Exemples : • Grandeurs proportionnelles de la vie courante :

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Maths collège : comprendre la proportionnalité en 10 minutes – GoStudent
1 sept. 2021⚠️La proportionnalité est une relation entre deux grandeurs. On dit que deux grandeurs sont proportionnelles, si l’on peut obtenir les valeurs de l’une en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul. Ce nombre est alors appelé coefficient de proportionnalité.
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https://www.cmath.fr › 5eme › proportionnalite › cours.php

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La proportionnalité – Cmath
La proportionnalité est une notion qui s’applique à des grandeurs reliées entre elles par un même nombre. Grandeurs proportionnelles Si en multipliant par un même nombre les valeurs prises par une grandeur, on obtient les valeurs prises par l’autre grandeur, alors on dit que ces grandeurs sont proportionnelles .

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Proportionnalité
Proportionnalité I) Définitions Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre. Pour passer de 2 à 5 on multiplie par 2.5 ; pour passer de 1 à 2.5, on multiplie par 2.5; ainsi que pour passer de 3 à 7.5 et de 4 à 10

https://fr.vikidia.org › wiki › Proportionnalité

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Proportionnalité – Vikidia, l’encyclopédie des 8-13 ans
On appelle coefficient de proportionnalité le nombre qui permet de passer de l’une à l’autre de ces valeurs en multipliant. Exemples : Pour faire 1 kg de beurre il faut 20 litres de lait . 1 × 20 = 20 . Pour faire 2 kg de beurre il faut donc 40 litres de lait . 2 × 20 = 40 . Le coefficient de proportionnalité est égal à 20 .

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Cours maths 6ème – Tout savoir sur la proportionnalité – Educastream
Deux grandeurs sont proportionnelles si on peut calculer les valeurs de l’une en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité. Exemple : La masse d’un morceau de viande et son prix.

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Proportionnalité (1)
On dit qu’il y a proportionnalité entre deux listes de nombres lorsque l’on peut passer de l’une à l’autre en utilisant une seule multiplication (ou division) : ici , X4 (pour le nb de yaourts) ou /4 (pour le nombre de paquets). On peut représenter cette situation sous la forme d’un graphique à partir de deux axes gradués.

https://www.techno-science.net › definition › 6334.html

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Proportionnalité : définition et explications
On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l’une à l’autre en multipliant par une constante appelée coefficient de proportionnalité. Exemple: Si, dans un magasin, le prix des pommes est de 2 euros le kg, il y a proportionnalité entre le prix à payer et le poids de pommes achetées. Le coefficient de proportionnalité est 2.

https://maitrelucas.fr › lecons › proportionnalite-cm2-cm1

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La proportionnalité, c’est quoi ? Pour les CM1 CM2 – Maître Lucas
Résumé de la proportionnalité Donc il y a situation de proportionnalité quand le prix d’un seul ne bouge pas. Exactement quand la valeur de l’unité ne change pas et donc tu peux créer des séries de nombres. Par exemple ici pour le prix des gâteaux, et passer du nombre de gâteaux au prix total, en multipliant toujours par le même nombre.

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À propos du principe de proportionnalité – DALLOZ Etudiant
Aux pratiques excessives, les juristes préfèrent l’équilibre de la balance. Gage de sagesse, le principe de proportionnalité semble a priori répondre à ce besoin.Pour nous éclairer sur ce qu’il recouvre, Louis Boré, le président de l’Ordre des avocats au Conseil d’État et à la Cour de cassation, a bien voulu nous répondre.

Une équation du premier degré est une équation dans laquelle les puissances de l’inconnue ou des inconnues sont de degré 1 et 0 uniquement comme les problèmes de proportionnalité simple. Dans les cas les plus complexes, ce peut être une équation quelconque qui s’y ramène par des manipulations algébriques.
Par exemple :
13u – 8u = 3,6×5 ;
4a + 7 = 8 ;
r + b×4 = 0 ;
3d + 5d – 7 – 11d = –4.
Historique[|]
La résolution des problèmes du premier degré a commencé par les algorithmes babyloniens et égyptiens, elle s’est poursuivie par les méthodes de fausse position au Moyen Âge ou de résolution directe par les Arabes puis par les méthodes modernes usant d’un symbolisme.
Résolutions[|]
Fausse position simple[|]
Le principe s’applique lorsqu’il y a proportionnalité dans le phénomène. Il consiste à faire une tentative (une position fausse) et à en déduire la solution.
Nous allons étudier cette méthode dans le cas du problème babylonien suivant :
« J’ai une pierre mais je ne l’ai pas pesée. Après avoir enlevé un septième de son poids, j’ai pesé le tout et j’ai trouvé : 1 ma-na (unité de masse). Quel était le poids de la pierre à l’origine ? »
On peut donner une valeur arbitraire (position fausse) au poids de la pierre, par exemple 7. Cette valeur n’est pas complètement donnée au hasard, elle est donnée par le calcul ci-dessous qui fait intervenir de manière simple 6, nombre simple à manipuler en numération sexagésimale babylonienne (en base 60).
Si la pierre pèse 7 ma-na, le septième de 7 étant 1, la pierre allégée pèse 6 ma-na, ce qui est 6 fois plus grand que la valeur cherchée (1 ma-na).
Pour que la pierre allégée pèse un ma-na, il faut donc prendre au départ une pierre 6 fois plus légère donc la solution est sept sixièmes :
.
Attention, cette méthode ne fonctionne que dans certains cas, par exemple si les inconnues sont d’un côté de l’égalité et les nombres connus de l’autre. Parmi les équations proposées dans l’introduction, seule la première est résoluble de cette manière.
Voici l’équation de ce problème, si l’on note p le poids de la pierre :
.
Fausse position double[|]
Le principe de la double fausse position s’applique lorsqu’il n’y a pas proportionnalité dans le phénomène. Il consiste à faire deux tentatives (trouver deux positions fausses) et à en déduire la solution (ou position exacte). Il est préférable (comme en artillerie) de faire une proposition faible et une proposition forte.
Exemple : Dans ce troupeau de vaches, si l’on échange le tiers de ces bêtes contre ces 17 belles vaches, le nombre de vaches passe à 41.
Première tentative faible : prendre 24 vaches. On en enlève le tiers. Il reste 16 vaches. On ajoute 17 vaches. Le troupeau contient alors 33 vaches donc 8 de moins que ce que l’on souhaite.
Seconde tentative forte : prendre 45 vaches. On en enlève le tiers. Il reste 30 vaches. On ajoute 17 vaches. Le troupeau contient alors 47 vaches soit 6 vaches de trop.
Le nombre exact de vaches est alors une moyenne des deux tentatives pondérées par les erreurs commises. Bref, le nombre de vaches est
Explication mathématique[|]
Voici une tentative d’explication sans faire intervenir de calcul algébrique.
Dans ce problème-ci, on travaille sur un phénomène affine : il n’y a pas de proportionnalité entre le nombre de vaches au départ et le nombre de vaches à l’arrivée mais il y a toujours proportionnalité entre le nombre de vaches ajoutées au départ et le nombre de vaches en plus à l’arrivée :
si au départ on prend 3 vaches, à l’arrivée on en a 19 ;
si au départ on prend 24 vaches (21 de plus) à l’arrivée on en a 33 (14 de plus) ;
si au départ on prend 45 vaches (42 de plus), à l’arrivée on en a 47 (28 de plus).
On peut donc construire un tableau de proportionnalité en comptant le nombre de vaches en plus par rapport au cas de la première fausse position, dans le cas de la position exacte et de la seconde fausse position.
Position Départ Arrivée
exacte ? 8
seconde fausse 45 – 24 14
La règle de la quatrième proportionnelle donne pour le nombre de vaches à ajouter à 24 :
c’est-à-dire un nombre total de vaches de
.
On peut admirer le mérite des Indiens et des Chinois, capables de concevoir et appliquer cette méthode sans l’aide de l’algèbre. On peut aussi admirer l’efficacité de l’écriture algébrique qui va rendre ce problème extrêmement simple à résoudre :
Il s’agit de résoudre l’équation x – x/3 + 17 = 41. Cette équation est successivement équivalente à
on a enlevé 17 aux deux membres de l’équation
on a multiplié les deux membres par 3/2
Le nombre initial de vaches est donc 36.
Résolution générale[|]
Les équations du premier degré peuvent se ramener à une équation du type
.
Il existe alors 3 cas de figure :
Si
la solution de l’équation
est en fait la définition du quotient, soit
.
Si
et
, l’égalité n’a aucune chance de se produire et l’équation n’admet alors aucune solution. L’ensemble des solutions est alors vide.
Si
et
alors l’égalité est vraie quelle que soit la valeur de l’inconnue. L’équation admet alors pour ensemble de solution l’ensemble de tous les nombres sur lequel on travaille.
rem: Ces trois distinctions sont valables quand on cherche à résoudre l’équation dans l’ensemble des réels, des rationnels ou des complexes. Quand on cherche à résoudre l’équation dans l’ensemble des entiers, il est possible que la solution proposée b/a ne soit pas entière, on dira alors que l’ensemble des solutions est vide. Enfin, si l’on sort de ces ensembles, il existe d’autres distinctions (anneau non intègre) qui sortent du cadre des mathématiques élémentaires.
On ramène parfois les équations du premier degré à la forme suivante :
.
Dans ce cas, l’équation admet une unique solution égale à
si et seulement si
.

Quelques exemples[|]
1) Les places à ce spectacle coûtent 12 euros, le groupe doit payer 156 euros. Combien y a-t-il de personnes dans le groupe ?
Il s’agit de résoudre dans N l’équation 12x = 156 où x représente le nombre de personnes du groupe.
Solution x = 156/12 = 13. Il y a donc 13 personnes dans le groupe.
2) Les places à ce spectacle coûtent 12 euros, le groupe doit payer 206 euros. Combien y a-t-il de personnes dans le groupe ?
Il s’agit de résoudre dans N l’équation 12x = 206 où x représente le nombre de personnes du groupe.
Solution x = 206/12 = 17,166…. Ce n’est pas un nombre entier, le problème ne possède pas de solution, le caissier a dû faire une erreur.
3) On cherche à résoudre dans R, l’équation 2x – 2 = 5x – (5 + x).
Les règles de somme et de différence permettent de dire que cette équation est équivalente successivement aux équations suivantes :
2x – 2 = 4x – 5
2x + 3 = 4x on a ajouté 5 aux deux membres de l’équation
3 = 2x on a retranché 2x aux deux membres de l’équation
2x = 3 l’égalité peut se lire dans les deux sens
x = 3/2 c’est le fameux b/a de la règle générale
La solution de l’équation est alors 3/2.
4) On cherche à résoudre dans R, l’équation 2x – 2 = 3x – (5 + x).
Les règles de somme et de différence permettent de dire que cette équation est équivalente successivement aux équations suivantes :
2x – 2 = 2x – 5
–2 = –5 on a retranché 2x aux deux membres de l’équation
Il n’est pas possible que –2 soit égal à –5 donc l’équation n’admet aucune solution.
5) On cherche à résoudre dans R, l’équation 2x – 5 = 3x – (5 + x).
Une simplification du membre de droite conduit à :
2x – 5 = 2x – 5.
Cette égalité est toujours vraie et ne dépend pas de la valeur de x. L’ensemble des solutions est l’ensemble R.
Cas de proportionnalité[|]
Les équations
ou
sont des cas de proportionnalité à connaître.
La solution de la première équation est
pour a non nul.
La solution de la seconde équation est
à condition que a et b soient non nuls.
Voir aussi[|]
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Mathématiques élémentaires
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v · m
Polynômes
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v · m
Méthodes de résolution d’équations
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