comment trouver la forme développée d’une parabole ?

Description

https://fr.wikihow.com › tracer-une-parabole

https://fr.wikihow.com › tracer-une-parabole
Comment tracer une parabole: 13 étapes (avec images) – wikiHow
On peut aussi la trouver sous la forme : y = a (x – h)2 + k, mais, pour illustrer notre propos, nous prendrons la première formulation. Si le « a » de l’équation est positif, la parabole s’ouvrira vers le haut en forme de « U » et le sommet sera un minimum.

https://fr.khanacademy.org › math › be-4eme-secondaire2 › x213a6fc6f6c9e122:analyse-1 › x213a6fc6f6c9e122:representation-graphique-dune-fonction-du-second-degre › a › graphing-quadratics-review

https://fr.khanacademy.org › math › be-4eme-secondaire2 › x213a6fc6f6c9e122:analyse-1 › x213a6fc6f6c9e122:representation-graphique-dune-fonction-du-second-degre › a › graphing-quadratics-review
Tracer une parabole (leçon) | Analyse | Khan Academy
Tracer la parabole d’équation : Cette équation est sous forme canonique : est le couple de coordonnées du sommet de la parabole. Ici, ce couple est . Si , la fonction est convexe sur , ce qui signifie que la parabole est située au-dessus de chacune de ses tangentes. Si , la fonction est concave sur , ce qui signifie que la parabole est …

https://fr.wikihow.com › trouver-le-sommet-d’une-parabole-d’une-équation-du-second-degré

https://fr.wikihow.com › trouver-le-sommet-d’une-parabole-d’une-équation-du-second-degré
Comment trouver le sommet d’une parabole d’une équation du second degré
Trouvez d’abord l’abscisse du sommet de la parabole. Il est aussi appelé axe de symétrie de la courbe. Utilisez la formule x = -b/2a. Remplacez les valeurs de a et b, ce qui donne : x=-b/2a x=- (9)/ (2) (1) x=-9/2 3 Trouvez l’ordonnée du sommet de la parabole. Pour ce faire, mettez x dans l’équation de départ.

https://mathrix.fr › maths › fonctions-du-second-degre-et-polynomes › forme-developpee-forme-factorisee-forme-canonique-le-cours-video-184

https://mathrix.fr › maths › fonctions-du-second-degre-et-polynomes › forme-developpee-forme-factorisee-forme-canonique-le-cours-video-184
Forme développée, factorisée et canonique ← Mathrix
Rappelons d’abord les formes polynomiales: Définition On appelle la forme réduite d’un polynôme quand il est écrit comme f (x)=ax^ {2} +bx+c f (x) = ax2 +bx +c On appelle forme canonique d’un polynôme quand il est écrit comme f (x)=a (x−α) ^ {2} +β. f (x) = a(x−α)2 +β. avec alpha=-dfrac {b} {2a} α = −2ab et beta = f (alpha) β = f (α).

https://fr.khanacademy.org › math › be-4eme-secondaire2 › x213a6fc6f6c9e122:analyse-1 › x213a6fc6f6c9e122:fonctions-polynome-du-second-degre › e › graphing_parabolas_0.5

https://fr.khanacademy.org › math › be-4eme-secondaire2 › x213a6fc6f6c9e122:analyse-1 › x213a6fc6f6c9e122:fonctions-polynome-du-second-degre › e › graphing_parabolas_0.5
Tracer la parabole représentative d’une fonction du second degré donnée …
La parabole représentative d’une fonction du second degré donnée sous forme développée. Par exemple la parabole représentative de la fonction définie par f(x) = 5x²- 20x + 15. If you’re seeing this message, it means we’re having trouble loading external resources on our website. Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont …

https://sante.journaldesfemmes.fr › fiches-sante-du-quotidien › 2537856-pervers-narcissique-definition-profil-symptome-destabiliser

fr.scienceaq.com › Math › 100100487.html
Comment trouver l’équation d’une parabole
Les paraboles sont des graphes décrits par l’équation y = ax ^ 2 + bx + c, où a, b et c sont des coefficients de nombres réels. Alternativement, vous pouvez décrire une parabole avec l’équation y = a (x – h) ^ 2 + k, où le sommet est le point (h, k) et a est un coefficient de nombre réel.

https://forum.mathforu.com › topic › 16737 › forme-canonique-d-une-parabole

https://forum.mathforu.com › topic › 16737 › forme-canonique-d-une-parabole
Forme Canonique d’une parabole – Forum mathématiques
1°) Déterminer la forme canonique de f. 2°) Déterminer la forme factorisée de f. Alors pour le 1°) voici ce que j’ai fait : a (x-α)²+β Le point B (-1;4) est le sommet de la parabole donc -1=α et 4=β a (x-1)²+4 Mais je ne sais pas comment trouver le a qui est le coefficient directeur ..

https://www.youtube.com › watch?v=F4t6y-jRJEc

https://www.youtube.com › watch?v=F4t6y-jRJEc
trouver une fonction polynôme du second degré connaissant la parabole …
Objectifs:- savoir déterminer une fonction polynôme du second degré connaissant la parabole- savoir utiliser la forme canonique et la forme factoriséehttp://…

https://www.maxicours.com › se › cours › parabole-representative-d-une-fonction-polynome-de-degre-2

https://www.maxicours.com › se › cours › parabole-representative-d-une-fonction-polynome-de-degre-2
Parabole représentative d’une fonction polynôme de degré 2
On appelle forme développée la forme . La forme est la forme factorisée. 2. Représentation graphique La courbe représentative d’une fonction du second degré est une parabole. Elle a pour équation , avec a un réel non nul, b et c deux réels. a. Allure de la parabole L’allure de la parabole d’équation dépend du signe de a :

https://mathrix.fr › maths › geometrie-reperee › geometrie-reperee-6902

https://mathrix.fr › maths › geometrie-reperee › geometrie-reperee-6902
Axe de symétrie et sommet d’une parabole ← Mathrix
Déterminons le sommet et l’axe de symétrie de la parabole d’équation : y=-2x^2+8x+8 y = −2×2 +8x+8. Considérons la fonction f f définie sur mathbb {R} R par f (x)=-2x^2+8x+8 f (x) = −2×2 + 8x+8. C’est une fonction de second degré possédant un maximum car -2<0 −2 < 0. Ce maximum est atteint pour la valeur x x annulant la dérivée …

En mathématiques, une équation du second degré, ou équation quadratique, est une équation polynomiale de degré 2, c’est-à-dire qu’elle peut s’écrire sous la forme :
où x est l’inconnue et les lettres a, b et c représentent les coefficients, avec a différent de 0. a est le coefficient quadratique, b est le coefficient linéaire, et c est un terme constant.
Dans l’ensemble des nombres réels, une telle équation admet au maximum deux solutions, qui correspondent aux abscisses des éventuels points d’intersection de la parabole d’équation y = ax2 + bx + c avec l’axe des abscisses dans le plan muni d’un repère cartésien. La position de cette parabole par rapport à l’axe des abscisses, et donc le nombre de solutions (0, 1 ou 2) est donnée par le signe du discriminant. Ce dernier permet également d’exprimer facilement les solutions, qui sont aussi les racines de la fonction du second degré associée.
Sur le corps des nombres complexes, une équation du second degré a toujours exactement deux racines distinctes ou une racine double. Dans l’algèbre des quaternions, une équation du second degré peut avoir une infinité de solutions.
Historique[|]
Les équations du second degré sont au centre de l’algèbre babylonienne, dès avant le xviiie siècle av. J.-C.1. La tablette d’argile BM 13901 a été qualifiée de « véritable petit manuel d’algèbre, consacré à l’équation du second degré et aux systèmes d’équations, et donnant les procédures résolutoires fondamentales »2.
Au viiie siècle, le mathématicien indien Sridhar Acharya (en) indique la manière de calculer les deux racines réelles.
Les équations du second degré ont été étudiées systématiquement par Al-Khwarizmi au ixe siècle, dans un ouvrage intitulé Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison qui, via le mot « restauration » (en arabe : al-jabr) a donné son nom à l’algèbre. Al-Khawarizmi distingue six cas d’équations du premier ou second degré dans lesquels les paramètres a, b et c sont tous positifs :
Les carrés égalent les racines : ax2 = bx
Les carrés égalent les nombres : ax2 = c
Les racines égalent les nombres : bx = c
Les carrés et les racines égalent les nombres : ax2 + bx = c
Les carrés et les nombres égalent les racines : ax2 + c = bx
Les racines et les nombres égalent les carrés : ax2 = bx + c
Il démontre les méthodes de résolution en suivant des raisonnements d’algèbre géométrique.
Éléments clé[|]
Introduction par l’exemple[|]
On recherche les éventuelles solutions de l’équation suivante3 :
.
Le membre de gauche est appelé trinôme du second degré4. Il est composé de trois termes, tous de la même forme : un nombre non nul que multiplie une puissance entière de x. Chaque terme est appelé monôme et, comme il en existe trois, on parle de trinôme. La plus grande puissance de ces monômes est 2 ; pour cette raison, on parle de second degré. L’expression 0x2 + x + 1 n’est pas un trinôme : x + 1, est un binôme du premier degréNote 1.
La méthode consiste à forcer l’apparition d’une première identité remarquable. On écrit le polynôme de la manière suivante :
.
Les trois premiers termes sont ceux d’une somme remarquable. L’application d’une identité remarquable permet d’écrire le polynôme de la manière suivante :
.
On peut alors appliquer à cette différence de carrés une deuxième identité remarquable :
.
L’équation initiale s’exprime alors sous forme d’un produit de deux facteurs :
Un produit de deux facteurs est nul si, et seulement si, au moins un des facteurs est nulNote 2. Cette remarque permet de trouver les deux solutions x1 et x2 :
.
La racine positive, x1, est appelée nombre d’or, et souvent notée
.
Il est aussi possible de résoudre une équation du second degré sans la moindre connaissance d’algèbre : le paragraphe méthode géométrique montre comment s’y prendre.
Discriminant[|]
Article détaillé : Discriminant.
On considère l’équation suivante, où a, b et c désignent des nombres réels et a est différent de 0 :
On dispose de la définition suivante5 :
Définition du discriminant — Le discriminant de l’équation est la valeur Δ définie par :
Celui-ci est parfois aussi appelé réalisant, et noté ρ6.
Cette définition est la source du théorème associé à la résolution de l’équation du second degré, dans le cas où l’on recherche des solutions réelles7 :
Résolution de l’équation — Si le discriminant est strictement positif, l’équation admet deux solutions x1 et x2 données par les formules suivantes :
Si le discriminant est nul, l’équation admet une racine double :
Si le discriminant est strictement négatif, l’équation n’admet pas de solution réelle, mais admet deux solutions complexes (voir ci-après Résolution dans l’ensemble des nombres complexes).
Interprétation graphique[|]
Article détaillé : Fonction du second degré.
Le signe du discriminant apporte une information sur le graphe de la fonction f.
Une manière d’étudier l’équation du paragraphe précédent est de considérer la fonction f de la variable réelle et à valeurs réelles définie par :
L’équation peut encore s’écrire f(x) = 0. Les solutions de l’équation sont les abscisses des points d’intersection du graphe de la fonction f et de l’axe des x. Le graphe de la fonction f est appelé une parabole, elle possède une forme analogue à celle des trois exemples présentés à droite. Si a est positif, les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, comme pour les exemples jaunes ou bleus, sinon les branches sont dirigées vers le bas, comme l’exemple rouge. L’intersection de la parabole avec l’axe des ordonnées est le point
, en effet, l’intersection des deux axes ayant lieu lorsque
, on a:
Si le discriminant est strictement positif, comme pour l’exemple bleu, cela signifie que le graphe de f croise l’axe des abscisses en deux points. Si le discriminant est nul, la configuration est celle de la parabole rouge, le graphe se situe soit dans le demi-plan des ordonnées positives soit dans le demi-plan des ordonnées négatives et son unique extremum est sur l’axe des abscisses. Dans le cas d’un discriminant strictement négatif, comme pour la parabole jaune, le graphe se situe encore dans l’un des deux demi-plans précédents, mais cette fois l’extremum ne rencontre pas l’axe des abscisses.
Ainsi, si le discriminant est strictement positif, le signe des valeurs que prend la fonction f entre les solutions est l’opposé du signe des valeurs prises par f à l’extérieur du segment d’extrémités les solutions de l’équation8.
Résolution dans l’ensemble des réels[|]
Forme canonique[|]
En vue de résoudre l’équation f(x) = 0, où f est la fonction du paragraphe précédent, une méthode consiste à l’écrire sous une forme plus adaptée. Comme la valeur a n’est pas nulle, il est déjà possible de la factoriser :
La méthode utilisée est la complétion du carré comme pour la résolution du premier exemple. Elle revient à « forcer » l’apparition d’une identité remarquable de la forme
en ajoutant et en retranchant B2 :
Cette forme est à l’origine d’une propriété et d’une définition9 :
Définition de la forme canonique — L’équation du second degré peut s’écrire sous la forme suivante, dite canonique, Δ désignant le discriminant9 :
À noter que β représente l’extremum (maximum ou minimum) de la fonction f(x), et que cet extremum est atteint pour x = α :
Si a > 0, la fonction f(x) est décroissante puis croissante (fonction en U) et β est donc le minimum de la fonction ;
Si a < 0, la fonction f(x) est croissante puis décroissante (fonction en cloche) et β est donc le maximum de la fonction.
Dans les deux cas, les coordonnées de l'extremum sont donc
Exemples[|]
Considérons l'équation suivante10 :
Deux méthodes permettent de trouver l'expression de la forme canonique. Tout d'abord, f est définie par une identité remarquable ; on en déduit :
Il est aussi possible d'utiliser les formules de la définition, on trouve ici a = 1, b = –4 et c = 4. On en déduit que le discriminant Δ est nul et que le coefficient α est égal à 2, ce qui donne à nouveau le résultat précédent.
Considérons maintenant le nouvel exemple10 :
Si l'égalité définissant g(x) n'est plus une identité remarquable, la deuxième méthode est toujours efficace. On a a = 2, b = –6 et c = 1. Ce qui permet d'effectuer les calculs suivants :
On en déduit la forme canonique :
Le graphe de la fonction g(x) est donc en forme de U et admet un minimum au point
Résolution de l'équation f(x) = 0[|]
La résolution de l'équation f(x) = 0 utilise la forme canonique :
Discriminant strictement négatif[|]
Si le discriminant est strictement négatif, la valeur β/a = -Δ/(4a2) est strictement positive.
La fonction f s'exprime comme le produit de a (non nul) et de la somme d'un terme positif (x – α)2 et d'un terme strictement positif β/a (somme qui est donc strictement positive, donc non nulle) : f(x) = a × [(x – α)2 + β/a].
On en déduit que, quelle que soit la valeur de x, son image par f n'est jamais nulle, car produit de deux facteurs non nuls, ce qui montre l'absence de solution dans l'ensemble des réels (R).
On peut tout de même trouver deux solutions en se plaçant dans l'ensemble des nombres complexes.
Discriminant nul[|]
Si le discriminant est nul, le terme β l'est aussi et f(x) = a(x – α)2. Cette expression est nulle si, et seulement si x est égal à α. Une fois encore, on retrouve le résultat exprimé dans le deuxième paragraphe.
Discriminant strictement positif[|]
Si le discriminant est strictement positif, en simplifiant par a, l'équation s'écrit encore, si δ désigne la racine carrée du discriminant :
.
En utilisant l'identité remarquable
, l'équation peut donc s'écrire :
.
Un produit de deux nombres réels est nul si, et seulement si, l'un des deux facteurs du produit est nul, on en déduit que l'équation est équivalente à l'une des deux équations :
.
En remplaçant α par
et δ par
, on retrouve bien l'expression déjà indiquée des deux solutions :
.
Propriétés[|]
Forme réduite[|]
Une équation du second degré n'apparaît pas toujours sous la forme étudiée jusqu'à présent. Considérons l'exemple :
Une analyse trop rapide pourrait laisser penser que les méthodes présentées ici ne sont pas adaptées pour une telle équation. Pour le vérifier, le plus simple est de développer le terme de gauche. On obtient, à l'aide de deux identités remarquables :
L'équation devient alors :
En simplifiant encore par 9, l'équation s'écrit : x2 + x + 1 = 0. Le discriminant étant égal à –3, l'équation n'admet pas de racine réelle. Pour pouvoir appliquer les techniques développées ici, il est utile d'exprimer l'équation sous la forme étudiée jusqu'à présent. Cette forme porte un nom10.
Définition de la forme réduite — La forme réduite d'une équation du second degré réelle, est la suivante, si a, b et c sont trois nombres réels tels que a soit différent de 0 :
Il existe trois formes importantes pour exprimer une équation du second degré, la forme réduite, la forme canonique et, éventuellement la forme factorisée, qui s'écrit de la manière suivante :
Sous la forme factorisée, les solutions sont directement disponibles. Elles sont égales à x1 et x2.
Relations entre coefficients et racines[|]
Article détaillé : Relations entre coefficients et racines.
Si les solutions, encore appelées racines, existent, qu'elles soient distinctes ou doubles11, on dispose de deux manières différentes de noter le polynôme, la forme factorisée et celle réduite. Avec les notations de l'article, on obtient si x1 et x2 sont les deux racines :
Un développement de la forme de droite permet d'obtenir une nouvelle expression de la forme réduite :
En identifiant les coefficients, on en déduit des relations entre les coefficients de l'équation et ses solutions :
Relations entre coefficients et racines — On dispose des deux relations suivantes :
De plus la somme
et le produit
des racines sont solutions de l'équation :
.
Cette propriété est très pratique pour résoudre les systèmes de type:
d'inconnues
.
Les égalités de cette nature se généralisent pour les équations définies par un polynôme de degré quelconque. Tel est l'objet de l'article détaillé.
Discriminant réduit[|]
Parfois, les coefficients a, b et c sont des nombres entiers et b est pair. Dans ce cas, un facteur 2 apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur. Si on définit b' comme l'entier vérifiant l'égalité b = 2b', on simplifie les calculs :
Définition du discriminant réduit4 — Le discriminant réduit est la valeur Δ' définie par :
Le discriminant est égal à quatre fois le discriminant réduit qui est donc de même signe que le discriminant. En conséquence, si le discriminant réduit est strictement positif, il existe deux solutions distinctes, s'il est nul les deux solutions sont confondues et s'il est strictement négatif aucune solution réelle n'existe. Dans le cas où le discriminant est positif, les deux racines x1 et x2 s'expriment, à l'aide du discriminant réduit par les égalités :
Le calcul présenté ici est exact, indépendamment du fait que a, b et c soient entiers. Si l'expression de b' est simple, il peut être utile de faire usage du discriminant réduit, plutôt que du discriminant.
Considérons l'équation suivante :
Le discriminant réduit est un peu plus simple à calculer que le discriminant : il est égal à 9 – (√5)2 donc à 4. On trouve, avec les formules précédentes :
Autres méthodes de résolution[|]
Racines évidentes[|]
Article détaillé : Racine évidente.
Les relations entre les coefficients et racines permettent parfois une accélération dans la résolution. Considérons l'équation précédente, le terme √5 joue un rôle singulier. Il est tentant de calculer son image par le polynôme définissant l'équation. Une solution trouvée à l'aide de cette méthode, c'est-à-dire consistant à choisir une valeur « au hasard » et à vérifier que son image par le polynôme est nulle est appelée racine évidente.
Une fois la première solution connue, les relations entre coefficients et racines permettent aisément de trouver la seconde. Dans l'exemple proposé, le plus simple est de remarquer que le produit des racines, égal à c/a est ici égal à 1. La deuxième racine est donc 1/√5.
La méthode de la racine évidente permet de résoudre simplement une équation de degré plus élevé, comme l'exemple suivant12 :
Plusieurs méthodes sont possibles pour en venir à bout. Celle de Cardan possède l'avantage d'être sûre, mais demande une maîtrise des nombres complexes et impose de longs calculs. La méthode des racines évidentes est beaucoup plus rapide. On tente traditionnellement les valeurs 0, ±1 et ±2. Dans le cas présent, –2 est une racine. Cela signifie que le polynôme x + 2 divise celui définissant l'équation. Trouver le deuxième facteur n'est pas trop ardu. C'est un polynôme du second degré, car seul un polynôme du second degré, multiplié par (x + 2) est du troisième degré. Si ax2 + bx + c est le deuxième facteur, on calcule le produit :
On en déduit a = 1, c = –1 puis b = –2. Il reste encore à résoudre l'équation :
Pour une rédaction plus concise, on peut toujours prétendre que 1 + √2 est une racine évidente. Comme la somme des racines du polynôme du second degré est égale à 2, la deuxième racine est égale à 1 – √2.
Méthode géométrique[|]
Article détaillé : Algèbre géométrique.
Résolution de l'équation x2 + 10x = 39 à l'aide d'un gnomon.
Les premières méthodes pour résoudre une équation du second degré sont géométriques. Même sans connaître les rudiments d'algèbre, il est possible de résoudre des équations du second degré. Les Grecs utilisaient la méthode suivante13, pour résoudre ce qu'en langage contemporain on formaliserait par l'équation :
On considère que les deux termes, de droite et de gauche désignent des surfaces. Le terme x2 désigne l'aire d'un carré de côté x et 10x désigne l'aire de deux rectangles de côtés 5 et x. On organise le carré et les deux rectangles de la manière indiquée sur la figure de droite, les deux rectangles sont dessinés en gris et le carré correspond au plus petit des deux et contenant le symbole x2 en son milieu.
Cette surface, que l'on appelle un gnomon prend la forme d'un carré si l'on y ajoute un nouveau carré de côté 5, car on obtient alors un carré plus vaste, contenant à la fois les deux rectangles et le carré de côté x. Le carré de côté x et les deux rectangles possèdent une aire de 39, on a ajouté un carré d'aire 25, on obtient un grand carré d'aire 64. En termes algébriques, cette considération graphique s'écrit :
Le grand carré est d'aire 64, son côté est donc de longueur 8. Or ce côté est, par construction, égal à 5 + x. En termes algébriques, cela revient à appliquer une identité remarquable, on obtient :
On en déduit la solution x = 3. L'algèbre propose aussi une autre solution : –13. Pour les Grecs, cette autre solution n'a aucun sens, x représente le côté d'un carré, c'est-à-dire une longueur. Or une longueur est toujours positive.
D'autres solutions géométriques sont proposées dans les articles Inconnue et Nombre d'or.
Par les relations entre coefficients et racines[|]

(décembre 2019).
Une autre méthode, à l'aide des relations entre les coefficients et les racines, permet de trouver les solutions. On suppose que l'équation admet un discriminant positif et on note s la somme des solutions et p leur produit. En divisant l'équation par le facteur a, qui n'est pas nul par définition, on obtient l'expression :
.
Soit m la valeur moyenne des deux solutions, c'est-à-dire l'abscisse de l'extremum de la parabole. Si h est la demi-distance entre les solutions et si x1 et x2 désignent les deux racines, on obtient les égalités :
.
La somme des deux racines est égale à s et aussi à 2m, ce qui donne la valeur de m = s/2. Le produit des deux racines et une identité remarquable montrent que m2 – h2 = p. Une autre manière d'écrire cette égalité est h2 = m2 – p. Comme le discriminant est positif par hypothèse, le terme de droite est positif. On obtient h, puis les valeurs des racines :
.
En remplaçant s et p par leurs valeurs, calculées à l'aide des relations entre les coefficients et les racines, on retrouve les formules classiques.
Les points (x1, 0), (x2, 0), (0 , 1/a), (0, c) et (–b/a, c) sont cocycliques sur un cercle (de Carlyle) ayant pour diamètre les points (0, 1/a) et (–b/a, c)
Cercle passant par les trois points d'intersection avec les axes de la parabole représentant une fonction polynôme du second degré f de discriminant positif (les intersections avec l'axe des x sont données par les racines).
Résolution dans l'ensemble des nombres complexes[|]
Lorsque le discriminant de l'équation du second degré est négatif, celle-ci ne possède pas de solution dans l'ensemble des réels, car il n'est pas possible de prendre la racine carrée d'un nombre négatif. Mais dans un ensemble spécialement construit à cet effet14, l'ensemble des nombres complexes, il existe des nombres dont le carré est négatif. L'équation du second degré à coefficients réels y admet alors toujours des solutions. Le résultat se généralise aux équations du second degré dont les coefficients sont complexes.
Coefficients réels et discriminant strictement négatif[|]
Exemple[|]
Considérons l'équation suivante :
.
Sous sa forme canonique, l'équation s'écrit :
.
La partie gauche de l'équation est la somme de deux carrés, dont l'un est strictement positif, il ne peut donc exister de solution dans les nombres réels. Une autre manière d'en prendre conscience est de calculer le discriminant, ici égal à –3.
Si i désigne l'unité imaginaire, il est possible d'écrire 3/4 comme l'opposé d'un carré, cet usage lève l'impossibilité, l'équation s'écrit :
.
Les identités remarquables s'appliquent tout autant dans C, le corps des nombres complexes, que dans R celui des nombres réels, comme dans tout anneau commutatif. On en déduit une nouvelle écriture de l'équation, car la différence de deux carrés est factorisable :
,
ce qui permet d'en déduire les deux solutions :
.
Les deux solutions sont conjuguées. Cette propriété n'est vraie que dans le cas d'une équation quadratique à coefficients réels.
Cas général[|]
La méthode utilisée pour l'exemple s'applique de la même manière pour le cas général, si les coefficients sont réels et le discriminant strictement négatif. L'équation s'écrit sous sa forme canonique :
Les symboles |Δ| désignent la valeur absolue du discriminant. On obtient le résultat suivant :
Coefficients réels et discriminant négatif — Si le discriminant est strictement négatif, l'équation admet deux solutions conjuguées x1 et x2, qui s'écrivent :
Équation z2 = α[|]
Résoudre l'équation z2 = α revient à déterminer les racines carrées du nombre complexe α, soit des nombres complexes β tel que β2 = α. Clairement, si β est solution son opposé -β également.
On note z = x + iy, α = a + ib' et |α| désigne le module de α. L'équation s'écrit encore :
Le carré du module de z est égal au module de α, on en déduit :
L'égalité 2xy = b permet d'éliminer les valeurs autres que β et -β, où β est définie par, si ε désigne le signe de b.
Un rapide calcul montre que β vérifie β2 = α, et β et -β sont donc bien les seules racines carrées de α.
La détermination d'une racine carrée d'un nombre complexe est utile pour résoudre le cas général de l'équation du second degré à coefficients complexes traitée au paragraphe suivant.
Équation du second degré à coefficients complexes (cas général)[|]
On suppose maintenant que a, b et c sont trois nombres complexes tels que a soit non nul. Il est toujours possible d'écrire l'équation de l'article sous la forme canonique, car les transformations utilisées sont tout aussi valables sur les nombres complexes. En simplifiant par a, l'équation est équivalente à :
Soit δ une racine carrée du discriminant (le paragraphe précédent montre qu'il existe une telle valeur et comment la déterminer). L'équation se résout alors comme dans le cas réel, c'est-à-dire qu'elle s'écrit :
L'identité remarquable traitant de la différence de deux carrés permet encore d'écrire dans l'ensemble des nombres complexes :
Ce qui permet d'énoncer le résultat :
Cas des coefficients complexes — Une équation du second degré à coefficients dans les nombres complexes admet deux solutions z1 et z2. Si le discriminant est nul, les deux solutions sont confondues. Dans le cas général, les solutions s'écrivent :
Remarque : Les solutions d'une équation du second degré à coefficients complexes sont en général deux nombres complexes qui ne sont pas conjugués, contrairement au cas d'une équation du second degré à coefficients réels dont le discriminant est strictement négatif.
Généralisation à d'autres corps[|]
Les formules ci-dessus (et leur démonstration) restent valables si a, b et c appartiennent à un corps commutatif K de caractéristique différente de 2, en prenant au besoin δ (racine carrée de Δ) dans une extension quadratique de K (comme on l'a fait pour
dans le cas Δ 0, le calcul de
où sgn(b) est le signe de b, conduit à calculer la différence des deux nombres √Δ et |b|. Si ce calcul est fait numériquement, cela entraîne une perte de précision, surtout lorsque √Δ est très proche de |b|, c’est-à-dire quand 4ac est petit par rapport à b2. On parle alors d’algorithme de calcul numériquement instable.
Michaël Baudin15 propose l’exemple suivant :
Lorsque ε (positif) tend vers 0, on est bien dans le cas où Δ = 1/ε2 + 4ε2 ≈ 1/ε2 = b2. Le comportement asymptotique des racines est
mais l’erreur de troncature donne des erreurs importantes par rapport à ces valeurs attendues.
Press et coll16. recommande le calcul de la valeur intermédiaire
ce qui permet d’obtenir les racines
Remarquons que comme le coefficient b est réputé grand (tout du moins devant ac), on peut encore gagner en précision en utilisant le discriminant réduit :[réf. nécessaire]
Une manière équivalente17 consiste à calculer d’abord la racine ayant un signe effectif « + »
,
proche de -b/a, et d’utiliser la propriété sur le produit des racines pour déterminer l’autre racine à l’aide de l’égalité
Ce nouvel algorithme est dit numériquement stable, car aucune erreur n’est amplifiée par une des étapes du calcul.
Dépassement[|]
Lorsque |b| prend des valeurs importantes, le calcul de b2, pour le discriminant, risque de créer une erreur de dépassement (si b2 < 10308). On peut prendre par exemple15
Lorsque ε (positif) tend vers 0, le comportement asymptotique des racines est
Mais alors que la valeur finale de x1 est représentable (–10308 < –1/ε), le calcul du discriminant provoque une erreur de dépassement.
Là encore, on a intérêt à utiliser le discriminant réduit : b'2 = b2/4, ce qui réduit d'un facteur quatre le risque de dépassement.
On peut ensuite factoriser de manière intelligente le calcul du discriminant. Si |b'| est grand devant |a| ou bien devant |c| (et non nul), on peut écrire :
On définit alors
qui diminue le risque d'erreur de dépassement, puisque soit |a/b'| < 1, soit |c/b'| |b’ | (non nul), on peut alors écrire
On définit alors
dont le calcul diminue le risque d’erreur de dépassement, puisque |b’/c| < 1, et
Sensibilité aux petites variations[|]
Si l'on calcule les dérivées partielles des racines par rapport aux coefficients de l'équation (en supposant a ≠ 0 et Δ ≥ 0) :
on voit que si a ou Δ sont proches de 0, alors les dérivées partielles sont très grandes, ce qui signifie qu'une petite variation sur les coefficients entraîne une grande variation de la valeur des racines. Dans de telles conditions, une petite erreur de troncature peut entraîner une grande erreur sur le résultat.
Si le discriminant est nul, on retrouve le même problème lorsque a est proche de zéro :
Dans les deux cas, on a un problème dit « mal conditionné ».
Algorithme itératif[|]
Une manière d'éviter les problèmes sus-cités consiste à utiliser un algorithme itératif, par exemple l'algorithme de Jenkins-Traub (en) qui permet d'obtenir les racines d'un polynôme P quelconque.
Si l'on connaît la première racine x1, alors P peut s'écrire
où H est un polynôme de degré inférieur de 1 à P — dans le cas présent, on a H(x) = a(x – x2), voir la section Forme réduite. L'algorithme recherche cette première racine en utilisant une suite de polynômes (Hi) approchant H. Cette suit est construite de manière récursive :
où (si) est une suite de nombres.
La première étape consiste à calculer les cinq premiers termes, H0 à H4, avec une suite nulle (s0 = … = s4 = 0). Cela donne un ordre de grandeur de la racine la plus petite et permet éventuellement de normaliser les coefficients de l'équation si cette valeur est trop grande ou trop petite. On évite ainsi les problèmes de dépassement ou de soupassement.
La deuxième étape consiste à calculer les neuf premiers termes en prenant une suite uniforme. Il s'agit d'une valeur complexe dont l'argument est pris au hasard (φ = rand), et dont l'affixe R est la solution de l'équation
que l'on peut trouver de manière simple (par exemple avec la méthode de Newton-Raphson), la fonction de gauche étant monotone et convexe. On prend donc
et si la méthode ne converge pas, on choisit un autre argument.
La troisième étape consiste à calculer les termes de rang supérieurs à 10 en utilisant la raison :
où H est le coefficient H normalisé, c'est-à-dire que ses coefficients sont divisés par le coefficient du degré le plus élevé.
Cet algorithme présente des similitudes avec Newton-Raphson, les polynômes Hi jouant le rôle des dérivées.
Cet algorithme peut être adapté si le coefficients de l'équation sont réels ; il est alors plus rapide et plus stable.
Notes et références[|]
Notes[|]
↑ L'équation qu'il définit n'est pas l'objet de cet article, mais de celui intitulé Équation du premier degré.
↑ Voir l'article Équation produit-nul.
Références[|]
↑ Høyrup 2010, p. 39.
↑ Caveing 1994, p. 21.
↑ Cet exemple est présenté dans : Le nombre d'or [] avec Geoplan par P. Debart de l'Académie d'Aix-Marseille.
↑
a et b V. & F. Bayart, Étude du trinôme du second degré [], sur le site bibmath.net.
↑ On trouve cette définition dans le site : Discriminant [] par Euler, un site de l'Académie de Versailles.
↑ Sur le site de l'UCLouvain:[1] []
↑ Équation du second degré dans R [] par Euler, un site de l'Académie de Versailles.
↑ Ce paragraphe est explicité dans le site : Signe d'une fonction trinôme du second degré [] par Euler, un site de l'Académie de Versailles.
↑
a et b C. Rossignol, Polynômes du second degré [] sur le site de l'académie de Grenoble, 2008, p. 2.
↑
a b et c Cet exemple s'inspire du site déjà cité : C. Rossignol, Polynômes du second degré, p. 2.
↑ Si une unique racine existe et vaut α on dit néanmoins qu'il existe deux racines x1 = x2= α. On parle alors de racine double. Cette convention possède plusieurs intérêts, entre autres celui d'éviter un cas particulier, par exemple dans le contexte de ce paragraphe.
↑ Il provient d'un exercice de terminale de P. Amposta : Gammes [], du site « mathématiques au lycée ».
↑ Pour plus de détails, voir : A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques : Routes et dédales, 1986 [détail des éditions] p. 62.
↑ Dominique Flament, Histoire des nombres complexes (ISBN 2-271-06128-8).
↑
a et b [(en) Scilab is not naive []], Consortium Scilab.
↑ (en) W.H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling et Brian P. Flannery, « 5. Quadratic and Cubic Equations : 5.6 », dans Numerical Recipes in C, Cambridge University Press, 1992.
↑ Michel Pignat et Jean Vignès, Ingénierie du contrôle de la précision des calculs sur ordinateur.
Voir aussi[|]
Sur les autres projets Wikimedia :
Équations du second degré, sur Wikiversity
Article connexe[|]
Forme quadratique
Bibliographie[|]
J. Merker, Du trinôme du second degré à la théorie de Galois, Presses universitaires de Franche-Comté (2007) (ISBN 2848672056)
Maurice Caveing, Essai sur le savoir mathématique : dans la Mésopotamie et l'Egypte anciennes, Villeneuve d'Ascq, Presses Univ. Septentrion, 1994, 417 p. (ISBN 2-85939-415-X)
Jens Høyrup, L'algèbre au temps de Babylone, Vuibert/Adapt, coll. « Inflexions », août 2010, 162 p. (ISBN 9782356560162)
[]
v · m
Polynômes
[]
v · m
Méthodes de résolution d'équations
Portail de l’algèbre