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comment montrer qu’une suite est bornee ?

# Comment Montrer qu’une Suite est Bornée ?

Ah, les suites, ces sequences infinies qui peuvent parfois semer la confusion dans l’esprit des étudiants en mathématiques ! Aujourd’hui, nous allons nous pencher sur une question cruciale : comment montrer qu’une suite numérique est bornée ? Une suite bornée est une suite qui n’explose pas vers l’infini positif ou négatif. En d’autres termes, ses termes restent à jamais enclenisonnés entre deux valeurs finies. Si vous êtes un élève de terminale S ou simplement curieux, vous êtes au bon endroit !

## Les Prérequis

Pour bien comprendre comment montrer qu’une suite est bornée, il est indispensable de maîtriser quelques concepts de base :

1. **Définition d’une suite** : Une suite est une liste ordonnée de nombres. Elle est souvent notée ((u_n)) où (u_n) représente le (n)-ième terme de la suite.
2. **Majorée** : Une suite ((u_n)) est majorée s’il existe un nombre (M) tel que pour tout (n), (u_n leq M).
3. **Minorée** : Une suite ((u_n)) est minorée s’il existe un nombre (m) tel que pour tout (n), (u_n geq m).
4. **Bornée** : Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

## Étapes pour Montrer qu’une Suite est Bornée

Pour montrer qu’une suite ((u_n)) est bornée, nous devons prouver deux choses :

1. **La suite est majorée.**
2. **La suite est minorée.**

### Étape 1 : Montrer que la suite est majorée

Prenons un exemple concret. Soit la suite ( (u_n) ) définie par :
[
u_n = frac{6n + 2}{3n + 5}
]

Pour montrer que cette suite est majorée, nous devons trouver un nombre ( M ) tel que pour tout ( n ), ( u_n leq M ).

Observons la forme de la suite :
[
u_n = frac{6n + 2}{3n + 5}
]

On peut simplifier cette expression en divisant le numérateur et le dénominateur par ( n ) :
[
u_n = frac{6 + frac{2}{n}}{3 + frac{5}{n}}
]

Comme ( n ) tend vers l’infini, (frac{2}{n}) et (frac{5}{n}) tendent vers 0. Ainsi, pour des grandes valeurs de ( n ), la suite se comporte comme :
[
u_n approx frac{6}{3} = 2
]

Donc, nous pouvons dire que :
[
u_n leq 2 quad text{pour un } n text{ assez grand}
]

Cependant, nous devons montrer cette majoration pour tout ( n ). En analysant la fonction, on trouve qu’un majorant possible est 2. En d’autres termes :
[
forall n in mathbb{N}, quad u_n leq 2
]

### Étape 2 : Montrer que la suite est minorée

Pour montrer que la suite est minorée, nous devons trouver un nombre ( m ) tel que pour tout ( n ), ( u_n geq m ).

Encore une fois, regardons notre suite :
[
u_n = frac{6n + 2}{3n + 5}
]

En évaluant cette expression pour ( n = 0 ) :
[
u_0 = frac{6 cdot 0 + 2}{3 cdot 0 + 5} = frac{2}{5}
]

Pour des grandes valeurs de ( n ), nous avons déjà vu que ( u_n ) se rapproche de 2. Donc, pour tout ( n ),
[
u_n geq frac{2}{5}
]

### Conclusion

En combinant les deux étapes, nous avons montré que :
– La suite ((u_n)) est majorée par 2.
– La suite ((u_n)) est minorée par (frac{2}{5}).

Ainsi, la suite ((u_n)) est bornée.

## Conclusion

Montrer qu’une suite est bornée peut sembler intimidant au premier abord, mais en suivant ces étapes méthodiques, vous pouvez y arriver sans trop de peine. N’oubliez pas que la clé réside dans la compréhension des définitions de suite majorée, minorée et bornée. Si vous avez des questions ou des doutes, n’hésitez pas à laisser un commentaire ci-dessous. Bonne الحظ !