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welche zu g parallele gerade ist ebenfalls tangente an den graphen von f ?

### Welche zu ( g ) parallele Gerade ist ebenfalls Tangente an den Graphen von ( f )?

In diesem Blogbeitrag gehen wir der Frage nach, welche parallele Gerade zu ( g ) auch Tangente an den Graphen von ( f ) ist. Dies ist eine häufige Aufgabe in der Mathematik, insbesondere in der Differentialrechnung. Wir werden Schritt für Schritt durch den Prozess gehen, um die gesuchte Tangente zu Determinieren.

#### Schritt 1: Verständnis der Tangente
Eine Tangente an einen Graphen ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion ( f ) an einer bestimmten Stelle ( x_0 ) berührt und dort dieselbe Steigung wie die Funktion besitzt. Die Gleichung einer Tangente in allgemeiner Form lautet:

[ y = f(x_0) + f'(x_0)(x – x_0) ]

#### Schritt 2: Bedingung für die Parallele
Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind. Das bedeutet:

[ f'(x) = m ]

wobei ( m ) die Steigung der Geraden ( g ) ist.

#### Schritt 3: Ableitung der Funktion ( f )
Um die tangente zu bestimmen, brauchen wir die Ableitung von ( f ). Angenommen, wir haben eine Funktion ( f(x) = frac{1}{6}x(x-6)^2 ).

Die Ableitung ( f'(x) ) ist:

[ f'(x) = frac{d}{dx} left( frac{1}{6}x(x-6)^2 right) ]

Verwenden wir die Produktregel:

[ f'(x) = frac{1}{6} left( (x-6)^2 + x cdot 2(x-6) right) ]

[ f'(x) = frac{1}{6} left( (x-6)^2 + 2x(x-6) right) ]

[ f'(x) = frac{1}{6} left( x^2 – 12x + 36 + 2x^2 – 12x right) ]

[ f'(x) = frac{1}{6} left( 3x^2 – 24x + 36 right) ]

#### Schritt 4: Gleichsetzung der Steigungen
Um die Stelle ( x ) zu finden, an der die Tangente parallel zu ( g ) ist, setzen wir ( f'(x) ) gleich der Steigung von ( g ). Angenommen, die Steigung von ( g ) ist 2:

[ f'(x) = 2 ]

[ frac{1}{6} (3x^2 – 24x + 36) = 2 ]

Multiplizieren wir beide Seiten mit 6, um den Bruch zu eliminieren:

[ 3x^2 – 24x + 36 = 12 ]

[ 3x^2 – 24x + 24 = 0 ]

#### Schritt 5: Lösen der quadratischen Gleichung
Diese Gleichung können wir durch Faktorisieren oder die pq-Formel lösen:

[ 3(x^2 – 8x + 8) = 0 ]

[ x^2 – 8x + 8 = 0 ]

Verwenden wir die pq-Formel:

[ x = frac{-b pm sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} ]

Hier ist ( a = 1 ), ( b = -8 ) und ( c = 8 ):

[ x = frac{8 pm sqrt{64 – 32}}{2} ]

[ x = frac{8 pm sqrt{32}}{2} ]

[ x = frac{8 pm 4sqrt{2}}{2} ]

[ x = 4 pm 2sqrt{2} ]

#### Schritt 6: Überprüfung
Nun überprüfen wir, ob die Tangenten an diesen Stellen tatsächlich parallel zu ( g ) sind. Setzen wir beispielsweise ( f'(4 + 2sqrt{2}) ) in die Tangentengleichung:

[ y = f(4 + 2sqrt{2}) + f'(4 + 2sqrt{2})(x – (4 + 2sqrt{2})) ]

#### Fazit
Die Tangente an den Graphen von ( f ) an der Stelle ( x = 4 + 2sqrt{2} ) ist parallel zur Geraden ( g ) mit der Steigung 2. Der gleiche Prozess kann für andere Stellen und Funktionen angewendet werden, um die entsprechenden Tangenten zu finden.

Für weitere Details und Beispiele, besuchen Sie die folgenden Links:

– [Mathelounge](https://www.mathelounge.de/218008/in-welchem-punkt-verlauft-die-tangente-parallel-zur-geraden)
– [SimpleClub YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=-rBOrGT9g1I)
– [MathBoard](https://www.mathboard.de/archive/548984/thread.html)
– [GuteFrage](https://www.gutefrage.net/frage/tangente-parallel-zur-gerade-herausfinden)
– [MatheLoung](https://www.mathelounge.de/51137/in-welchen-punkt-haben-die-graphen-parallele-tangenten)
– [Serlo](https://de.serlo.org/mathe/2213/tangente-an-graph)
– [GoStudent](https://www.gostudent.org/de/q/in-welchen-punkten-ist-die-tan_75c26840-2d42-4c44-88cd-d97ca801f40d)
– [GuteFrage 2](https://www.gutefrage.net/frage/nachweisen-dass-eine-gerade-gx-eine-tangente-an-fx-ist-und-normale-bestimmen)
– [MathBoard 2](https://www.matheboard.de/archive/37574/1/thread.html)
– [Studienkreis](https://www.studienkreis.de/mathematik/tangentengleichung-bestimmen/)

Ich hoffe, dieser Artikel hilft Ihnen weiter bei der Lösung solcher Probleme. Viel Erfolg beim Lernen und Rechnen!