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comment trouver fonction de répartition ?

**Comment trouver la fonction de répartition d’une variable aléatoire ?**

La fonction de répartition d’une variable aléatoire X est la fonction définie pour tout t ∈ R par FX(t) = P(X ≤ t). Autrement dit, FX(t) est la probabilité de l’événement « la valeur de X est inférieure ou égale à t ».

Mais comment trouver cette fonction de répartition ? Il existe plusieurs méthodes pour le faire, notamment si on connaît la loi de probabilité de la variable aléatoire.

**Méthode 1 : Utilisation de la fonction de densité**

Si la variable aléatoire X a une densité f(x), alors la fonction de répartition FX peut être calculée à l’aide de la formule suivante :

FX(t) = ∫[-∞, t] f(x) dx

Cette formule intégrale permet de calculer la probabilité de l’événement « la valeur de X est inférieure ou égale à t » en fonction de la densité de probabilité de la variable aléatoire.

**Méthode 2 : Utilisation de l’espérance**

Si on connaît l’espérance de la variable aléatoire X, alors on peut utiliser la formule suivante pour calculer la fonction de répartition :

FX(t) = 1 – F(t) / 1 + ∫[t, ∞] 1 / x dx

Cette formule utilise l’espérance et l’intégrale pour calculer la probabilité de l’événement « la valeur de X est inférieure ou égale à t ».

**Méthode 3 : Utilisation de la distribution générique**

La fonction de répartition d’une variable aléatoire X peut également être calculée à l’aide de la distribution générique. La distribution générique est une fonction qui prend en entrée la valeur de la variable aléatoire et en sortie la probabilité de l’événement « la valeur de X est inférieure ou égale à la valeur entrée ».

**Exemples**

Il existe plusieurs exemples de variables aléatoires pour lesquelles la fonction de répartition peut être calculée. Par exemple, on peut considérer une variable aléatoire qui suit une loi normale avec une moyenne de 0 et une variance de 1. La fonction de répartition de cette variable aléatoire peut être calculée à l’aide de la formule :

FX(t) = 1 – erf(-t / √2)

où erf est la fonction d’erreur établie par Gauss.

**Conclusion**

La fonction de répartition d’une variable aléatoire est une fonction définie pour tout t ∈ R qui représente la probabilité de l’événement « la valeur de X est inférieure ou égale à t ». Il existe plusieurs méthodes pour calculer cette fonction de répartition, notamment à l’aide de la fonction de densité, de l’espérance ou de la distribution générique. Les exemples mentionnés ci-dessus montrent que la fonction de répartition peut être calculée pour différentes lois de probabilité.

L’illustration donnée est :
Illustration fonction de répartition
Chaque variable aléatoire X a sa propre fonction de répartition à laquelle on aura toujours accès.

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Les fonctions de répartition sont utilisées en probabilité et statistique.

Et voila