comment demontrer qu’une suite est arithmetique ?

Description

Comment démontrer qu’une suite est arithmétique ?

Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, il faut démontrer que la différence entre deux termes successifs est constante. Voici les étapes à suivre :

1. Calculer la différence entre deux termes successifs:

Soit (un​) une suite. Pour tout entier naturel $n$, on calcule la différence entre le terme un+1​ et le terme un​ :

un+1​−un​

2. Identifier l’éventuelle raison de la suite:

Si la différence un+1​−un​ est constante pour tout entier naturel $n$, alors la suite (un​) est arithmétique. La constante un+1​−un​ est appelée la raison de la suite.

3. Conclure sur la nature de la suite:

Si la différence un+1​−un​ n’est pas constante pour tout entier naturel $n$, alors la suite (un​) n’est pas arithmétique.

Exemple:

Soit la suite (un​) définie par un​=2n+1.

1. Calculons la différence entre deux termes successifs:

un+1​−un​=(2(n+1)+1)−(2n+1)=2n+2−2n−1=1

2. La différence est constante:

La différence un+1​−un​ est constante et égale à 1 pour tout entier naturel $n$.

3. Conclusion:

La suite (un​) est arithmétique de raison 1.

Remarques:

• Il ne suffit pas de vérifier que la différence entre quelques termes successifs est constante pour démontrer qu’une suite est arithmétique. Il est nécessaire de démontrer que la différence est constante pour tout entier naturel $n$.
• Si une suite est arithmétique, alors la différence entre deux termes quelconques est égale à la raison de la suite.
• La forme explicite d’une suite arithmétique est un​=u1​+r(n−1), où u1​ est le premier terme et $r$ est la raison.

J’espère que cela vous aidera à démontrer qu’une suite est arithmétique !

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