Description

comment trouver le périmètre d’un rectangle avec son aire ?

Comment déterminer le périmètre d’un rectangle à partir de son aire (et d’une donnée supplémentaire)

Vous avez déjà calculé l’aire d’un rectangle, mais vous vous demandez maintenant comment passer de cette aire au périmètre ? La réponse est oui, c’est possible… à condition d’avoir une petite information supplémentaire. Dans cet article, je vous explique pas à pas la méthode, je vous montre comment résoudre l’équation, et je vous propose des exemples concrets pour que vous puissiez appliquer immédiatement la technique.

Rappel des formules de base

• Aire : S = L × l où L est la longueur (le côté le plus grand) et l la largeur.
• Périmètre : P = 2 × (L + l).

Ces deux relations sont suffisantes pour déterminer L et l dès que l’on connaît deux des trois quantités S, P et l’une des dimensions. Sans cette deuxième information, l’aire seule ne suffit pas : il existe une infinité de rectangles qui ont la même aire mais des périmètres différents (ex. : 1 m × 10 m, 2 m × 5 m, …).

Le système d’équations à résoudre

Supposons que vous connaissez :

• L’aire S (en m², cm², …)
• Le périmètre P (en m, cm, …) ou un rapport entre les côtés (par ex. L = k × l)

On obtient alors le système :

[
begin{cases}
L times l = S \
2(L + l) = P
end{cases}
]

En posant u = L + l = P/2 et v = L times l = S, les deux inconnues sont les racines du trinôme

[
x^{2} – u x + v = 0
]

Ce qui donne, grâce à la formule quadratique,

[
boxed{,L,;l = frac{u}{2} pm sqrt{left(frac{u}{2}right)^{2} – v},}
]

ou, en fonction du périmètre :

[
boxed{,L,;l = frac{P}{4} pm sqrt{left(frac{P}{4}right)^{2} – S},}
]

Le discriminant (Delta = left(frac{P}{4}right)^{2} – S) doit être positif (ou nul). Si (Delta < 0), les valeurs données sont incompatibles : aucune figure rectangulaire ne peut satisfaire les deux conditions.

Algorithme simple à retenir

1. Calculez u = P / 2 (la somme des côtés).
2. Vérifiez que Δ = (u/2)² – S ≥ 0. Sinon, abandonnez : les données sont incohérentes.
3. Calculez racine = √Δ.
4. Les dimensions sont :
   • L = (u/2) + racine
   • l = (u/2) – racine

Et le périmètre, bien sûr, est P = 2(L + l). Vous avez déjà la valeur de P, mais l’étape 1 vous montre d’où vient la formule.

Exemples détaillés

Exemple 1 : Aire = 15 m², Périmètre = 20 m

• u = P/2 = 20/2 = 10 m
• Δ = (u/2)² – S = (5)² – 15 = 25 – 15 = 10
• racine = √10 ≈ 3,1623 m
• Dimensions :
  • L = 5 + 3,1623 ≈ 8,1623 m
  • l = 5 – 3,1623 ≈ 1,8377 m
• Vérification : L × l ≈ 8,1623 × 1,8377 ≈ 15 m² et 2(L + l) ≈ 20 m ✔️

Exemple 2 : Aire = 30 m², Périmètre = 40 m

• u = 40/2 = 20 m
• Δ = (10)² – 30 = 100 – 30 = 70
• racine = √70 ≈ 8,3666 m
• Dimensions :
  • L = 10 + 8,3666 ≈ 18,3666 m
  • l = 10 – 8,3666 ≈ 1,6334 m
• Vérification : L × l ≈ 30 m² et 2(L + l) ≈ 40 m ✔️

Quand le discriminant devient nul ?

Si (Delta = 0), on obtient un carré. Exemple : S = 16 m² et P = 16 m.

• u = 16/2 = 8 m
• Δ = (4)² – 16 = 0
• L = l = u/2 = 4 m

Le rectangle devient donc un carré de côté 4 m.

Cas particulier : on ne connaît que l’aire

Sans le périmètre (ou un rapport L/k = l), il n’y a pas de réponse unique. Vous pouvez choisir une valeur pour l’un des côtés, puis calculer l’autre :

[
l = frac{S}{L}qquadtext{ou}qquad L = frac{S}{l}
]

Par exemple, si S = 12 m² et que vous décidez que la longueur doit être 6 m, la largeur sera l = 12 / 6 = 2 m. Le périmètre sera alors P = 2(6 + 2) = 16 m. Mais vous auriez tout aussi bien pu choisir L = 4 m, ce qui donnerait l = 3 m et P = 14 m. D’où l’importance d’une seconde donnée.

Astuce pratique – Utiliser une calculatrice en ligne

Pour éviter les erreurs de calcul, vous pouvez créer une petite feuille Google Sheets ou un script Python :

# Python (3.x)
import math

def dimensions(area, perimeter):
    u = perimeter / 2.0
    delta = (u/2.0)**2 - area
    if delta < 0:
        return None  # données incohérentes
    racine = math.sqrt(delta)
    L = u/2.0 + racine
    l = u/2.0 - racine
    return L, l

print(dimensions(15, 20))   # → (8.16227766016838, 1.83772233983162)

Un simple copier‑coller et vous avez instantanément les réponses pour n’importe quel couple (S, P).

Résumé en 5 points

1. Deux inconnues = deux équations. Vous avez besoin de l’aire et du périmètre (ou d’un rapport de côtés).
2. Transformez le système en x² – ux + v = 0 où u = P/2 et v = S.
3. Calculez le discriminant (Delta = (u/2)^{2} – v). S’il est négatif, les données sont incompatibles.
4. Les dimensions sont L = u/2 + √Δ et l = u/2 – √Δ.
5. Vérifiez toujours : L × l = S et 2(L + l) = P.

Et vous ? Des questions ?

J’espère que cet article vous a éclairé sur le lien subtil entre aire et périmètre d’un rectangle. N’hésitez pas à laisser un commentaire avec vos propres exemples, vos difficultés ou vos astuces de calcul ! Vous avez une situation où les chiffres semblent ne pas coller ? Partagez‑les, je vous aiderai à dépanner le système.

Bonne géométrie ! 🚀