possibilité et probabilité ?

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Différence entre probabilité et possibilité / Mots | La différence …
La possibilité est plus sûre que la probabilité. La possibilité a son opposé dans le mot impossibilité. Une autre différence est que, si une chose pouvant exister ou se produire est appelée possibilité, l’apparition d’un événement hors de toute possibilité est appelée probabilité. La probabilité est une théorie alors que la possibilité est un événement. C’est une autre différence entre les deux mots. Les événements doivent se combiner pour rendre une probabilité …

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Différence entre probabilité et possibilité | Probabilité vs …
La probabilité indique la probabilité qu’un événement se produise. La possibilité est l’ensemble universel alors que la probabilité est le sous-ensemble. La possibilité est plus certaine que la probabilité. La possibilité a son contraire dans le mot impossibilité tandis que la probabilité a son contraire dans le mot invraisemblance.

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Les probabilités | Méthode Maths
Il y a alors 2 paramètres : p, qui est la probabilité de succès, et q, qui est la probabilité d’échec. Comme il n’y a que 2 possibilités et que la somme des probabilités vaut 1, on a donc : — p + q = 1 c’est-à-dire q = 1 – p — Ainsi, il suffit de donner la valeur de p, et on a automatiquement la valeur de q.

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La différence entre Possibilité et Probabilité
possibilité | probabilité La différence entre possibilité et probabilité est que possibilité est caractère de ce qui est possible tandis que probabilité est qualité d’être probable ; vraisemblance ; apparence de vérité.

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3 manières de calculer les probabilités – wikiHow
Une probabilité s’évalue en rapportant les chances qu’un ou plusieurs évènements se produisent au nombre de résultats possibles. Pour ce qui est du calcul de la probabilité de plusieurs évènements successifs ou simultanés, il faut en passer par les probabilités séparées de chacun des évènements, puis par leur multiplication. Méthode 1

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« Quelle est la différence entre une possibilité et une probabilité …
« Quelle est la différence entre une possibilité et une probabilité ? » – La probabilité est une quantification de la possibilité. – Le possibilité est binaire, on ne peut prouver que l’impossibilité. – Ce qui ne présente pas de contradiction interne, est possible.

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Probabilités – Maths-cours.fr
La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la « chance » que cet événement se réalise. Un événement qui ne peut pas se réaliser s’appelle événement impossible. Sa probabilité est égale à 0. Un événement qui se réalisera obligatoirement s’appelle événement certain. Sa probabilité est égale à 1. Exemples

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Les types de probabilités | Secondaire | Alloprof
La probabilité d’une expérience aléatoire est une valeur qui indique la possibilité qu’un événement se produise. La valeur d’une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 inclusivement. Cette valeur peut s’exprimer par un pourcentage, une fraction ou un nombre décimal.

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Probabilités : cours et formules de probabilités de base
Cours de probabilité : résumé et formules de base. Résumé de cours Exercices et corrigés. Cours en ligne du Tage Mage. Les probabilités accompagnent les élèves tout au long de leur scolarité jusqu’à la préparation du bac pour certain, mais aussi jusqu’en prépa et pas uniquement en MPSI ou PCSI et prépa HEC.

https://www.cmath.fr › 0ter › probabilites › cours.php

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Les probabilités (terminale) – Cmath
Nous pouvons calculer les probabilités de ces deux possibilités. P S (M) est la probabilité de M sachant S. C’est la probabilité que Nadal remporte le match sachant qu’il a remporté le premier set. D’après l’énoncé, cette probabilité fait ½.

Pour les articles homonymes, voir Probabilité (homonymie).
Cet article présente les notions générales concernant les probabilités ; pour une approche élémentaire du calcul des probabilités voir Probabilités (mathématiques élémentaires) ; pour la théorie mathématique rigoureuse correspondante, voir Théorie des probabilités ; pour l’historique de ces notions, voir Histoire des probabilités ; pour l’analyse des concepts de probabilité et l’interprétation des probabilités, voir Interprétations de probabilité.
Quatre dés à six faces de quatre couleurs différentes. Les six faces possibles sont visibles.
Le terme probabilité possède plusieurs sens : venu historiquement du latin probabilitas, il désigne l’opposé du concept de certitude ; il est également une évaluation du caractère probable d’un événement, c’est-à-dire qu’une valeur permet de représenter son degré de certitude ; récemment, la probabilité est devenue une science mathématique et est appelée théorie des probabilités ou plus simplement probabilités ; enfin une doctrine porte également le nom de probabilisme.
La probabilité d’un événement est un nombre réel compris entre 0 et 1. Plus ce nombre est grand, plus le risque, ou la chance, que l’événement se produise est grand. L’étude scientifique des probabilités est relativement récente dans l’histoire des mathématiques. L’étude des probabilités a connu de nombreux développements depuis le xviiie siècle grâce à l’étude de l’aspect aléatoire et en partie imprévisible de certains phénomènes, en particulier les jeux de hasard. Ceux-ci ont conduit les mathématiciens à développer une théorie qui a ensuite eu des implications dans des domaines aussi variés que la météorologie, la finance ou la chimie.
Historique[|]
Article détaillé : Histoire des probabilités.
À l’origine, dans les traductions d’Aristote, le mot « probabilité » ne désigne pas une quantification du caractère aléatoire d’un fait, mais la perception qu’une idée est communément admise par tous. Ce n’est qu’au cours du Moyen Âge, puis de la Renaissance, autour des commentaires successifs et des imprécisions de traduction de l’œuvre d’Aristote, que ce terme connaîtra un glissement sémantique pour finir par désigner la vraisemblance d’une idée.
L’apparition de la notion de « risque », préalable à l’étude des probabilités, n’est apparue qu’au xiie siècle, pour l’évaluation de contrats commerciaux avec le Traité des contrats de Pierre de Jean Olivi1, et s’est développée au xvie siècle, avec la généralisation des contrats d’assurance maritime2. À part quelques considérations élémentaires par Girolamo Cardano3 au début du xvie siècle, et par Galilée au début du xviie siècle, le véritable début de la théorie des probabilités date de la correspondance entre Pierre de Fermat et Blaise Pascal, en 1654.
C’est dans la deuxième moitié du xviie siècle, à la suite des travaux de Blaise Pascal, Pierre de Fermat et Christian Huygensb 1,a 1 sur le problème des partis, que le terme « probabilité » prend peu à peu son sens actuel, avec les développements du traitement mathématique du sujet par Jakob Bernoulli.
Au xviiie siècle, Gabriel Cramer donne un cours sur la logique probabiliste qui deviendra une base à l’article probabilité de l’encyclopédie de Diderot, écrite à la fin de ce même sièclea 2. Ce n’est alors qu’au xixe siècle qu’apparaît ce qui peut être considéré comme la théorie moderne des probabilités en mathématiques.
Le calcul des probabilités prend un nouvel essor au début du xxe siècle, avec l’axiomatique de Kolmogorov; commence alors la théorie des probabilités. Les probabilités deviennent une science et une théorie, comme branche des mathématiques4.
Terminologies[|]
Ainsi, il existe plusieurs notions que nous détaillerons dans les sections suivantes :
la probabilité d’un fait caractérise la possibilité que ce fait se produise, une vraisemblance, une apparence de véritéa 3. (définition 2 du Laroussea 4). Le probable, la connaissance probable ou la logique probabilistea 2 sont des termes utilisés, notamment au xviiie siècle, pour désigner une connaissance intermédiaire entre la certitude de la vérité et la certitude de la fausseté.
Voir l’article du wiktionnaire : probable ;
les probabilités d’un fait donnent le pourcentage de chance qu’un fait se produise, c’est-à-dire qu’elles donnent une ou plusieurs valeurs (ou pourcentages) de la possibilité qu’il se produise. Cette notion se rapproche de la notion mathématique de loi de probabilité (définition 1 du Laroussea 4). Plus formellement, c’est le rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possiblesa 3.
Voir l’article : probabilités (mathématiques élémentaires) ;
les probabilités ou le calcul des probabilités ou la théorie des probabilités sont la théorie mathématique qui étudie le caractère probable des événements (définition 1 du Laroussea 4).
Voir l’article : théorie des probabilités ;
la doctrine des probabilités ou probabilisme est une doctrine de théologie morale qui enseigne qu’on peut suivre une opinion, pourvu qu’elle soit probablea 3.
Voir l’article : probabilisme.
Probabilité et certitude[|]
Le premier usage du mot probabilité apparaît en 1370 avec la traduction de l’éthique à Nicomaque d’Aristote par Oresme, et désigne alors « le caractère de ce qui est probable »a 3. Le concept de probable chez Aristote (ενδοξον, en grec) est ainsi défini dans les Topiques5 :
« Sont probables les opinions qui sont reçues par tous les hommes, ou par la plupart d’entre eux, ou par les sages, et parmi ces derniers, soit par tous, soit par la plupart, soit enfin par les plus notables et les plus illustres. »
Ce qui rend une opinion probable chez Aristote est son caractère généralement admisa 5; ce n’est qu’avec la traduction de Cicéron des Topiques d’Aristote, qui traduit par probabilis ou par verisimilis, que la notion de vraisemblance est associée à celle de « probabilité », ce qui aura un impact au cours du Moyen Âge puis de la Renaissance, avec les commentaires successifs de l’œuvre d’Aristotea 6.
Une phrase, situation ou proposition est vraie ou fausse. Sa probabilité est la « connaissance évidente de la vérité ou de la fausseté d’une proposition »a 2. La notion d’incertitude est quant à elle le défaut de cette connaissance. Pour une proposition, il existe alors trois casa 2 :
la proposition est reconnue comme vraie avec certitude ;
la proposition est reconnue comme fausse avec certitude ;
elle est probable si on ne peut la reconnaître vraie ou fausse. Dans ce cas, il est possible de mesurer une certaine vraisemblance par la connaissance du nombre de conditions requises pour être reconnue vraie.
Cette représentation développée par Cramer permet de faire apparaître une manière de mesurer la notion d’incertitude ou de probabilité. Il donne alors la définition suivante de la probabilité :
Définition (Gabriel Cramer)a 2 — Puisque la certitude entière naît de l’assurance que l’on a de l’existence de toutes les conditions requises pour certaines vérités, et la probabilité de la connaissance qu’on a de l’existence de quelques-unes de ces conditions, on regarde la certitude comme un tout et la probabilité comme une partie. Le juste degré de probabilité d’une proposition sera donc exactement connu quand on pourra dire et prouver que cette probabilité monte à demi certitude ou au trois quarts de la certitude entière, ou seulement au tiers de la certitude, etc.
Probabilités d’un événement[|]
Articles détaillés : probabilités (mathématiques élémentaires) et loi de probabilité.
Comme précisé précédemment, la notion de probabilité permet de quantifier le hasard. La formalisation du début du xxe siècle est aujourd’hui unanimement utilisée. (par exemple, voir l’ouvrage de Jacod et Protter6 pour cette section)
La probabilité d’un certain événement A, notée
, associe une valeur entre 0 et 1 que l’événement se réalise. Lorsque
, l’événement est dit presque sûr (ou quasi certain), c’est-à-dire qu’il a « toutes les chances » de se réaliser. À l’inverse si
, A est dit négligeable (ou quasi impossible), c’est-à-dire qu’il a une chance nulle de se réaliser.
La probabilité d’un événement A peut s’obtenir de manière fréquentiste, notamment lorsqu’il est possible de faire une expérience plusieurs fois et de compter le nombre de succès de l’expérience. En effet, si on effectue n fois une expérience indépendamment et que dans nA fois des cas, l’événement A est réalisé, alors, la probabilité de A est donnée par :
.
De manière plus probabiliste, lorsque le nombre de résultats possibles de l’expérience est fini et que ces résultats sont équiprobables, la probabilité de A est obtenue par :
.
Mathématiquement, l’événement A est un sous-ensemble d’un ensemble Ω qui représente toutes les éventualités possibles. Pour obtenir une théorie, des axiomes ont été proposés par Kolmogorov : la probabilité
doit vérifier :
pour tout événement A,
,
,
pour
.
Grâce à cette description, plusieurs notions peuvent s’écrire de manière mathématique.
Article détaillé : Indépendance (probabilités).
Deux événements sont dits indépendants si le fait de connaître la probabilité du premier événement ne nous aide pas pour prévoir la probabilité du second et inversement. Mathématiquement, cela s’écrit :
. Par exemple, la probabilité d’obtenir un as à un premier jeté de dé et d’obtenir un as au deuxième jeté de dé est la multiplication des deux probabilités et vaut 1/36.
Article détaillé : Probabilité conditionnelle.
Il est possible de considérer la probabilité d’un événement (notons le A) conditionnellement à un autre (noté B). Lorsque les deux événements ne sont pas indépendants, le fait de connaître la probabilité de l’un influence la probabilité de l’autre par la formule :
. Par exemple, la probabilité d’obtenir la somme des deux dés égale à 12 lorsque le premier dé a donné 6 vaut 1/6.
Articles détaillés : Formule de Poincaré, Formule des probabilités totales et Théorème de Bayes.
Des formules existent pour pouvoir calculer tout type de probabilité. C’est le cas de la formule de Poincaré, de la formule des probabilités totales ou du théorème de Bayes.
Théorie des probabilités[|]
Article détaillé : théorie des probabilités.
Encouragé par Pascal, Christian Huygens publie De ratiociniis in ludo aleae (raisonnements sur les jeux de dés) en 1657. Ce livre est le premier ouvrage important sur les probabilités. Il y définit la notion d’espérance et y développe plusieurs problèmes de partages de gains lors de jeux ou de tirages dans des urnes7. Deux ouvrages fondateurs sont également à noter : Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli (posthume, 1713) qui définit la notion de variable aléatoire et donne la première version de la loi des grands nombres8, et Théorie de la probabilité d’ Abraham de Moivre (1718) qui généralise l’usage de la combinatoire9.
La théorie de la probabilité classique ne prend réellement son essor qu’avec les notions de mesure et d’ensembles mesurables qu’Émile Borel introduit en 1897. Cette notion de mesure est complétée par Henri Léon Lebesgue et sa théorie de l’intégration10. La première version moderne du théorème central limite est donnée par Alexandre Liapounov en 190111 et la première preuve du théorème moderne est donnée par Paul Lévy en 1910. En 1902, Andrei Markov introduit les chaînes de Markov12 pour entreprendre une généralisation de la loi des grands nombres pour une suite d’expériences dépendant les unes des autres. Ces chaînes de Markov connaîtront de nombreuses applications, entre autres pour modéliser la diffusion ou pour l’indexation de sites internet sur Google.
Il faudra attendre 1933 pour que la théorie des probabilités sorte d’un ensemble de méthodes et d’exemples divers et devienne une véritable théorie, axiomatisée par Kolmogorov13.
Kiyoshi Itô met en place une théorie et un lemme qui porte son nom dans les années 194014. Ceux-ci permettent de relier le calcul stochastique et les équations aux dérivées partielles, faisant ainsi le lien entre analyse et probabilités. Le mathématicien Wolfgang Doeblin avait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940. Ses travaux furent envoyés à l’Académie des sciences dans un pli cacheté qui ne fut ouvert qu’en 200015.
Axiomatique[|]
Articles détaillés : Axiomes des probabilités et Espace probabilisé.
Au début du xxe siècle, Kolmogorov définit des axiomes mathématiques afin de pouvoir étudier le hasard. Ainsi il construit l’espace des possibles, appelé univers, qui contient tous les hasards possibles, il le munit d’un ensemble qui contient les sous-ensembles de l’univers, appelés tribu, et d’une mesure de probabilité qui permet de calculer les probabilités correspondantes. L’espace
ainsi construit vérifie les trois axiomes des probabilités16 :
(Positivité) la probabilité d’un événement est une valeur entre 0 et 1 : pour tout
,
;
(Masse unitaire) la probabilité de l’univers est 1 :
;
(Additivité) pour toute suite dénombrable d’événements
disjoints deux à deux, c’est-à-dire tels que
pour tous
, alors :
.
Variables aléatoires, lois et caractérisations[|]
Article détaillé : Variable aléatoire.
Afin de pouvoir mieux manipuler le hasard, il est commode d’utiliser une variable aléatoire. Elle peut être réelle, mais peut aussi être multidimensionnelle, ou même plus générale. Cette variable réelle est, en théorie, une application :
17 qui à chaque aléa
, associe le résultat de l’expérience :
.
Article détaillé : Loi de probabilité.
Cette variable possède une répartition de ses valeurs donnée par sa loi de probabilité, qui est une mesure. Cette dernière peut être représentée de nombreuses manières, les plus communes étant par l’utilisation de la fonction de répartition, la densité de probabilité (si elle existe) ou la fonction de masse, le cas échéant. De nombreuses propriétés des lois de probabilité, et donc des variables aléatoires, peuvent être étudiées : espérance, moments, indépendance entre plusieurs variables, etc.
Convergence et théorèmes limites[|]
Article détaillé : Convergence de variables aléatoires.
Il est possible de considérer une infinité de variables aléatoires :
. Dans ce cas, y a-t-il une limite possible? La question de notion de convergence aléatoire se pose alors. Il existe plusieurs types de convergences18 : la convergence en loi qui est la convergence de la loi de la variable (en tant que mesure), la convergence en probabilité, la convergence presque sûre ou encore la convergence en moyenne.
Articles détaillés : Loi des grands nombres et Théorème central limite.
De nombreux théorèmes limites existent alors. Les plus connus sont : la loi des grands nombres qui annonce que la moyenne des n premières variables aléatoires converge vers la moyenne théorique de la loi commune des variables aléatoires19 ; le théorème central limite, qui donne la bonne renormalisation de la somme des variables aléatoires pour avoir une limite non triviale20.
Calcul stochastique[|]
Articles détaillés : calcul stochastique, Marche aléatoire, Chaîne de Markov, Processus stochastique, Processus de Markov et Martingale (calcul stochastique).
Le calcul stochastique est l’étude des phénomènes qui évoluent au cours du temps de manière aléatoire21. Le temps peut être modélisé de manière discrète, c’est-à-dire par les valeurs entières :
, dans ce cas le phénomène est représenté par une suite (infinie) de variables aléatoires :
, c’est une marche aléatoire. Le temps peut également être modélisé de manière continue, c’est-à-dire par des valeurs réelles
ou
, il s’agit alors d’un processus stochastique
.
Plusieurs propriétés sont alors liées au calcul stochastique : la propriété de Markov annonce que le mouvement futur du phénomène ne dépend que de l’état présent et non pas du mouvement passé ; la récurrence et la transience d’une chaîne de Markov assurent le retour ou le passage unique en un état donné ; une martingale est un processus tel que l’état futur est déterminé en moyenne par l’état présent, etc.
Doctrine des probabilités[|]
Article détaillé : probabilisme.
La doctrine de la probabilité, autrement appelée probabilisme, est une théologie morale catholique qui s’est développée au cours du xvie siècle, sous l’influence, entre autres, de Bartolomé de Medina et des jésuites. Avec l’apparition de la doctrine de la probabilité, ce terme connaîtra un glissement sémantique pour finir par désigner, au milieu du xviie siècle, le caractère vraisemblable d’une idée.
La probabilité d’une opinion désigne alors, au milieu du xviie siècle, la probabilité qu’une opinion soit vraie. Ce n’est qu’à partir de la fin du xviie siècle, avec l’émergence de la probabilité mathématique, que la notion de probabilité ne concernera plus seulement les opinions et les idées, mais aussi les faits, et se rapprochera de la notion de hasardb 2 que l’on connaît aujourd’hui.
Interprétation des probabilités[|]
Article détaillé : Interprétations de probabilité.
Lors de l’étude d’un phénomène aléatoire, il existe plusieurs façons d’aborder la notion de probabilité liée à ce phénomènea 7.
La conception subjective de la probabilité d’un événement s’applique dans le cas où il est difficile, voire impossible, de connaître les différentes probabilités des résultats d’une expérience aléatoire. Notamment dans le cas où l’expérience ne peut se réaliser plusieurs fois dans les mêmes conditions. Les probabilités attribuées ne correspondent alors pas exactement à la réalité, et leurs estimations peuvent varier selon les personnes et les situations. On parle dans ce cas de probabilité épistémique ou de probabilité bayésienne. Il s’agit d’une probabilité s’appliquant au jugement que l’on porte plus que sur l’événement lui-même22,23.
Par exemple : quelle est la probabilité de réussir à un examen ? Pour connaître les chances d’obtenir une note donnée à un examen, il faut l’estimer suivant le candidat et sa situation par rapport à l’examen. Il n’est pas possible de réaliser plusieurs fois l’expérience puisqu’un examen ne peut se passer plus d’une fois dans la même configuration. Les probabilités estimées et choisies pour chaque note vérifient les axiomes de Kolmogorov mais sont subjectives.
La conception fréquentiste des probabilités d’un événement est plus historique. Elle permet d’attribuer les chances de réalisation de chaque événement par une méthode statistique, c’est-à-dire en réalisant plusieurs fois l’expérience et d’en déduire les probabilités liées aux événements. Idéalement il faudrait répéter l’expérience à l’infini pour obtenir les probabilités réelles de l’expérience, cependant, puisque ce n’est pas possible, les méthodes expérimentales donnent des probabilités empiriques. (voir la section Les probabilités d’un événement ci-dessus). Cette notion s’appelle également probabilité statistique ou probabilité a posterioria 3.
Par exemple : un joueur possède un dé pipé dont il ne connaît pas le biais, c’est-à-dire que les valeurs du dé n’ont pas les mêmes chances d’apparaître. Une méthode possible est de réaliser un grand nombre de lancers et de compter les résultats obtenus. Les résultats sont alors approchés pour vérifier l’axiomatique de Kolmogorov.
La conception classique de la probabilité s’utilise dans le cas de situations prédéfinies considérées comme connues. Beaucoup de situations sont considérées comme aléatoires et équiprobables, c’est-à-dire que chaque événement élémentaire à la même chance d’apparaître. Cette conception est également appelée objective, probabilité mathématique ou probabilité a prioria 3.
Par exemple : un dé (non pipé) est supposé équilibré, c’est-à-dire que chaque valeur a une chance sur six d’apparaître. Lors d’une distribution de cartes, chaque donne est supposée apparaître avec les mêmes chances.
Une notion philosophique apparaît alors : puisque nous ne connaissons la nature et le monde autour de nous que par notre expérience et notre point de vue, nous ne le connaissons que de manière subjective et ne pouvons estimer précisément les lois objectives qui les dirigent.
Vulgarisation[|]
Le Giec utilise pour les résumés pour décideurs de ses rapports un langage naturel calibré24.
« Les qualificatifs ci-après ont été utilisés pour indiquer la probabilité évaluée d’un résultat : quasiment certain (probabilité de 99 à 100 %), très probable (90 à 100 %), probable (66 à 100 %), à peu près aussi probable qu’improbable (33 à 66 %), improbable (0 à 33 %), très improbable (0 à 10 %), exceptionnellement improbable (0 à 1 %). La probabilité évaluée est indiquée en italique : par exemple très probable… D’autres qualificatifs peuvent également être utilisés le cas échéant : extrêmement probable (95 à 100 %), plus probable qu’improbable (> 50 à 100 %), plus improbable que probable (0 à < 50 %) et extrêmement improbable (0 à 5 %). Enfin, ce Rapport utilise également les expressions « fourchette probable » et « fourchette très probable » qui signifient que la probabilité évaluée d’un résultat se situe dans la fourchette de 17 à 83 % ou de 5 à 95 %. »
Applications[|]
Les jeux de hasard sont l'application la plus naturelle des probabilités mais de nombreux autres domaines s'appuient ou se servent des probabilités. Citons entre autres :
la statistique est un vaste domaine qui s'appuie sur les probabilités pour le traitement et l'interprétation des données ;
La théorie des jeux s'appuie fortement sur la probabilité et est utile en économie et plus précisément en micro-économie ;
l'estimation optimale par usage de la loi de Bayes, qui sert de fondement à une grande partie des applications de décision automatique (imagerie médicale, astronomie, reconnaissance de caractères, filtres anti-pourriel) ;
en physique ainsi qu'en biologie moléculaire l'étude du mouvement brownien pour de petites particules ainsi que les équations de Fokker-Planck font intervenir des concepts s'appuyant sur le calcul stochastique et la marche aléatoire ;
les mathématiques financières font un large usage de la théorie des probabilités pour l'étude des cours de la bourse et des produits dérivés. Par exemple le Modèle de Black-Scholes pour déterminer le prix de certains actifs financiers (notamment les options) ;
les études probabilistes de sûreté où l'on évalue la probabilité d'occurrence d'un événement indésirable. C'est devenu un outil d'évaluation des risques dans bon nombre d'installations industrielles.
Liens avec la statistique[|]
Article détaillé : Interconnexions entre la théorie des probabilités et la statistique.
Il existe plusieurs façons d'aborder les probabilités : le calcul a priori et le calcul a posteriori25. (voir la section interprétation des probabilités ci-dessus). Le calcul des probabilités a posteriori correspond à une attribution des valeurs des probabilités inconnues grâce au théorème de Bayes.
Pour estimer les probabilités, les estimateurs statistiques sont utilisés afin de mieux approcher la variable recherchée26. Un estimateur est une valeur calculée à partir d'un échantillon de la population totale étudiée. Un estimateur est bien choisi, c'est-à-dire qu'il donnera une bonne estimation des valeurs recherchées, si c'est un estimateur sans biais et convergent ; autrement dit la moyenne empirique approche la moyenne théorique et l'estimateur converge vers la bonne variable aléatoire lorsque la taille de l'échantillon augmente. La méthode du maximum de vraisemblance permet de choisir un bon estimateur.
Par ces méthodes, il est possible de retrouver les paramètres inconnus d'une loi de probabilité associée au phénomène étudié27.
La révision bayésienne est une autre méthode pour le calcul des probabilités a posterioria 8. Celle-ci se fait grâce au théorème de Bayes :
Dans cette formule, l'hypothèse représente ce que l'on suppose a priori sur le phénomène aléatoire, la preuve est une partie du phénomène que l'on connaît et que l'on peut mesurer. Le terme
est appelé vraisemblance. Ainsi
permet de mesurer la probabilité a posteriori de l'hypothèse que l'on fixe en tenant compte de la preuve.
Exemple 1[|]
La fréquence empirique permet d'estimer les probabilités. Dans un échantillon de n individus, il suffit de compter le nombre de fois où l'individu appartient à la catégorie A recherchée28. En notant
ce nombre parmi les n tirages, la fréquence
est proche de la probabilité
recherchée. Lors de 400 lancers de pièces, s'il apparaît 198 fois le côté face, alors on en déduit que la probabilité d'obtenir face est approximativement
. C'est un cas particulier de la loi des grands nombres. 0,495 est la valeur estimée de
.
Exemple 2[|]
Une liste de valeurs
est connue, elle est supposée de loi normale dont la moyenne m est connue27. La question est de trouver l'écart type σ de la loi normale. La statistique T définie par
est un estimateur de σ, c'est-à-dire qu'il tend vers σ lorsque n tend vers l'infini.
Exemple 3[|]
On se demande quel temps il fera demain, la météo permet d'obtenir des informations supplémentaires. Certaines données sont alors connues : la probabilité que la météo annonce un beau temps sachant qu'il fera effectivement beau :
, la probabilité que la météo annonce un beau temps sachant qu'il pleuvra :
.
Une hypothèse est choisie : par exemple
, c'est-à-dire que l'on considère, a priori, qu'il y a une chance sur deux qu'il fera beau demain.
Il est alors possible de calculer la probabilité que la météo annonce un beau temps :
c'est-à-dire que la météo annonce un beau temps dans 55 % des cas. La probabilité qu'il fera beau demain sachant que la météo a annoncé beau temps est alors donnée par :
Il est alors possible de réviser une deuxième fois l'hypothèse qu'il fera beau en regardant un deuxième bulletin météo d'une source différente. On prendrait alors comme nouvelle hypothèse la probabilité d'avoir un beau temps nouvellement calculée.
Notes et références[|]
Notes[|]
↑ Ces trois auteurs n'ont jamais utilisé le terme « probabilité » dans le sens qu'il prend par la suite avec le « calcul des probabilités ».
↑ Pour désigner cette mathématique du probable, Pascal, en 1654, parle de « Géométrie du hasard ».
Références[|]
Ouvrages[|]
↑ SYLVAIN PIRON, « Le traitement de l’incertitude commerciale dans la scolastique médiévale » [], sur Journ@l Électronique d'Histoire des Probabilités et de la Statistique, juin 2007.
↑ (en) GIOVANNI CECCARELLI, « The Price for Risk-Taking: Marine Insurance and Probability Calculus in the Late Middle Age » [], sur Journ@l Électronique d'Histoire des Probabilités et de la Statistique, juin 2007.
↑ http://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node1.html [] site sur l'histoire des probabilités
↑ Aslangul 2004, p. 1
↑ Tricot 1990, p. 16
↑ Jacod et Protter 2003, p. 7
↑ Les probabilités : Approche historique et définition. []
↑ http://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node3.html [], une histoire de la probabilité jusqu'à Laplace
↑ Ian Hacking L'émergence des probabilités
↑ http://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node4.html [] histoire des probabilités de Borel à la seconde guerre mondiale
↑ Entre De Moivre et Laplace []
↑ DicoMaths : Chaine de Markov [] « Copie archivée » (version du 14 juin 2015 sur l'Internet )
↑ un article sur la mise en place de l'axiomatisation des probabilités [].
↑ Biographie d'Itô sur le site de Mac Tutor []
↑ Bernard Bru et Marc Yor (éd.), « Sur l'équation de Kolmogoroff, par W Doeblin », C. R. Acad. Sci. Paris, Série I 331 (2000). Sur la vie de Doeblin, voir Bernard Bru, « La vie et l'œuvre de W. Doeblin (1915-1940) d'après les s parisiennes », Math. Inform. Sci. Humaines 119 (1992), 5-51 et, en anglais, Biographie de Doeblin sur le site de Mac Tutor []
↑ Sinaï 1992, p. 6
↑ Le Gall 2006, p. 93
↑ Bertoin 2000, p. 34
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Articles et autres sources[|]
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↑ Arnaud Macé, « Aristote – Définir, décrire, classer chez Aristote : des opérations propédeutiques à la connaissance scientifique des choses », Phulopsis, 2006 (lire en ligne [])
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↑ David Stadelmann, « Les conceptions de la probabilité: Comparaison des différentes approches » [], 2003
↑ Christian Robert, « L'analyse statistique bayésienne », Courrier des statistiques, 2001 (lire en ligne [])
Voir aussi[|]
Sur les autres projets Wikimedia :
probabilités, sur le Wiktionnaire
Probabilité, sur Wikiversity
Bibliographie[|]
Sylvie Méléard, Aléatoire – Introduction à la théorie et au calcul des probabilités [], Éditions de l'École Polytechnique, 2010
Claude Aslangul, Mathématiques pour physiciens, Université Pierre et Marie Curie, La science à Paris, 2004 (lire en ligne []), chap. 8
Jean Bertoin, Probabilités : cours de licence de mathématiques appliquées, 2000, 79 p. (lire en ligne [])
Bernard Courtebras, Mathématiser le hasard, Vuibert, 2008
(en) Jean Jacod et Philip E. Protter, Probability Essentials, Springer, 2003, 254 p. (lire en ligne [])
Jean-François Le Gall, Intégration, Probabilités et Processus aléatoires : cours de l'ENS, 2006, 248 p. (lire en ligne [])
(en) Daniel Revuz et Marc Yor, Continuous martingales and Brownian motion, vol. 293, Springer, 2004, 3e éd., 606 p. (lire en ligne [])
Gilbert Saporta, Probabilités, Analyse des données et Statistiques, Paris, Éditions Technip, 2006, 622 p. [détail des éditions] (ISBN 978-2-7108-0814-5, présentation en ligne []).
(en) Iakov Sinaï, Probability theory : An introductory course, Berlin/Heidelberg/Paris etc., Springer, 1992, 138 p. (ISBN 3-540-53348-6, lire en ligne [])
J Tricot, Les topiques, vol. V, t. 1 à 8, VRIN, 1990, 368 p. (lire en ligne [])
Articles connexes[|]
Cindyniques
Chance
Plausibilité
Probabilité (mathématiques élémentaires)
Statistique
Théorie des probabilités
Appel à la probabilité
Liens externes[|]
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