comment trouver ker f et im f ?

Description

**Comment trouver ker(f) et im(f) ?**

Lorsque l’on travaille avec des applications linéaires, deux concepts clés sont essentiels à comprendre : le noyau (ker(f)) et l’image (im(f)) d’une application linéaire. Dans cet article, nous allons explorer comment trouver ces deux ensembles pour une application linéaire donnée.

**Qu’est-ce que ker(f) et im(f) ?**

Le noyau (ker(f)) d’une application linéaire f est l’ensemble des vecteurs x de l’espace de départ qui ont pour image le vecteur nul, c’est-à-dire que f(x) = 0. L’image (im(f)) d’une application linéaire f est l’ensemble des vecteurs y de l’espace d’arrivée qui ont un antécédent par f, c’est-à-dire que y = f(x) pour un certain x.

**Comment trouver ker(f) ?**

Pour trouver le noyau d’une application linéaire, il faut résoudre l’équation f(x) = 0. Cela signifie que l’on cherche tous les vecteurs x qui, une fois appliqués à l’application linéaire, donnent le vecteur nul. Le noyau est un sous-espace vectoriel de l’espace de départ.

**Comment trouver im(f) ?**

Pour trouver l’image d’une application linéaire, il faut trouver tous les vecteurs y qui peuvent être obtenus en appliquant l’application linéaire à des vecteurs x de l’espace de départ. L’image est un sous-espace vectoriel de l’espace d’arrivée.

**Méthodes pour trouver ker(f) et im(f)**

Il existe plusieurs méthodes pour trouver ker(f) et im(f), notamment :

* La méthode des équations : pour trouver ker(f), il faut résoudre l’équation f(x) = 0, et pour trouver im(f), il faut trouver tous les vecteurs y qui peuvent être obtenus en appliquant l’application linéaire.
* La méthode de la matrice : si l’on dispose de la matrice de l’application linéaire, il est possible de trouver ker(f) et im(f) en utilisant des opérations matricielles.

**Exemples et exercices**

Considérons l’exemple suivant : Soit f une application linéaire de R^3 dans R^3 définie par :

f(x, y, z) = (x – y + z, x + y – z, x – y – z)

Pour trouver ker(f), il faut résoudre l’équation f(x, y, z) = (0, 0, 0).

En résolvant ce système d’équations, on trouve que ker(f) est constitué des vecteurs de la forme (t, t, -2t) pour tout t dans R.

Pour trouver im(f), il faut trouver tous les vecteurs (x, y, z) de R^3 qui peuvent être obtenus en appliquant l’application linéaire à des vecteurs (x, y, z) de R^3.

On peut montrer que im(f) est constitué des vecteurs (x, y, z) tels que x + y – z = 0.

**Base de ker(f) et im(f)**

Une fois que l’on a trouvé ker(f) et im(f), il est possible de trouver une base pour ces sous-espaces vectoriels.

Par exemple, une base de ker(f) est constituée du vecteur (1, 1, -2), et une base de im(f) est constituée des vecteurs (1, 0, 1) et (0, 1, 1).

**Injectivité et surjectivité**

Enfin, il est important de noter que l’injectivité et la surjectivité d’une application linéaire sont liées à ker(f) et im(f).

Si ker(f) = {0}, alors l’application linéaire est injective, ce qui signifie que chaque vecteur de l’espace d’arrivée a au plus un antécédent.

Si im(f) = espace d’arrivée, alors l’application linéaire est surjective, ce qui signifie que chaque vecteur de l’espace d’arrivée a au moins un antécédent.

En conclusion, trouver ker(f) et im(f) est essentiel pour comprendre le comportement d’une application linéaire. En utilisant les méthodes et les exemples présentés dans cet article, vous devriez être en mesure de trouver ker(f) et im(f) pour les applications linéaires que vous rencontrez dans vos études ou vos recherches.